Упр.15.20 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

• а) $$\sqrt{x-a}\ge\sqrt{3-x}$$; б) $$\sqrt{x+a}\ge\sqrt{13-x}$$; в) $$\sqrt{x-a}\le\sqrt{23-x}$$; г) $$\sqrt{x-a}\le\sqrt{33-x}$$.

1. а) Рассмотрим неравенство $$\sqrt{x-a}\ge \sqrt{3-x}.$$

   Область определения:

   $$x-a\ge 0,\qquad 3-x\ge 0.$$

   Так как функция $$\sqrt{t}$$ возрастает, то при выполнении ОДЗ имеем

   $$x-a\ge 3-x.$$

   Тогда

   $$2x\ge a+3,\qquad x\ge \frac{a+3}{2}.$$

   Итак, нужно решить систему

   $$\begin{cases} x\ge a,\\ x\le 3,\\ x\ge \dfrac{a+3}{2}. \end{cases}$$

   Если $$a>3,$$ то $$a>3$$ и решений нет.

   Если $$a\le 3,$$ то

   $$x\in \left[\frac{a+3}{2},\,3\right].$$

   При $$a=3$$ получаем единственное решение $$x=3.$$

2. б) Рассмотрим неравенство $$\sqrt{x+a}\ge \sqrt{13-x}.$$

   Область определения:

   $$x+a\ge 0,\qquad 13-x\ge 0.$$

   Тогда

   $$x+a\ge 13-x,\qquad 2x\ge 13-a,\qquad x\ge \frac{13-a}{2}.$$

   Получаем систему

   $$\begin{cases} x\ge -a,\\ x\le 13,\\ x\ge \dfrac{13-a}{2}. \end{cases}$$

   Если $$a<-13,$$ то решений нет.

   Если $$a\ge -13,$$ то

   $$x\in \left[\frac{13-a}{2},\,13\right].$$

   При $$a=-13$$ получаем единственное решение $$x=13.$$

3. в) Рассмотрим неравенство $$\sqrt{x-a}\le \sqrt{23-x}.$$

   Область определения:

   $$x-a\ge 0,\qquad 23-x\ge 0.$$

   Так как корень возрастает, то

   $$x-a\le 23-x,\qquad 2x\le 23+a,\qquad x\le \frac{23+a}{2}.$$

   Следовательно,

   $$\begin{cases} x\ge a,\\ x\le 23,\\ x\le \dfrac{23+a}{2}. \end{cases}$$

   Если $$a>23,$$ то решений нет.

   Если $$a\le 23,$$ то

   $$x\in \left[a,\,\frac{23+a}{2}\right].$$

   При $$a=23$$ получаем единственное решение $$x=23.$$

4. г) Рассмотрим неравенство $$\sqrt{x-a}\le \sqrt{33-x}.$$

   Область определения:

   $$x-a\ge 0,\qquad 33-x\ge 0.$$

   Тогда

   $$x-a\le 33-x,\qquad 2x\le 33+a,\qquad x\le \frac{33+a}{2}.$$

   Получаем систему

   $$\begin{cases} x\ge a,\\ x\le 33,\\ x\le \dfrac{33+a}{2}. \end{cases}$$

   Если $$a>33,$$ то решений нет.

   Если $$a\le 33,$$ то

   $$x\in \left[a,\,\frac{33+a}{2}\right].$$

   При $$a=33$$ получаем единственное решение $$x=33.$$

Ответ

а) $$a\le 3,\quad x\in \left[\dfrac{a+3}{2},\,3\right]$$; при $$a>3$$ решений нет.

б) $$a\ge -13,\quad x\in \left[\dfrac{13-a}{2},\,13\right]$$; при $$a<-13$$ решений нет.

в) $$a\le 23,\quad x\in \left[a,\,\dfrac{23+a}{2}\right]$$; при $$a>23$$ решений нет.

г) $$a\le 33,\quad x\in \left[a,\,\dfrac{33+a}{2}\right]$$; при $$a>33$$ решений нет.