Упр.15.20 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

б) корень (x+a) > = корень (13-x);
в) корень (x-a) < = корень (23-x); г) корень (x-a) < = корень (33-x).

Подробный ответ

а) Рассмотрим неравенство $$\sqrt{x-a}\ge \sqrt{3-x}.$$
Область определения:
$$x-a\ge 0,\qquad 3-x\ge 0.$$
Так как функция $$\sqrt{t}$$ возрастает, то при выполнении ОДЗ имеем
$$x-a\ge 3-x.$$
Тогда
$$2x\ge a+3,\qquad x\ge \frac{a+3}{2}.$$
Итак, нужно решить систему
$$ \begin{cases} x\ge a,\\ x\le 3,\\ x\ge \dfrac{a+3}{2}. \end{cases} $$
Если $$a>3,$$ то $$a>3$$ и решений нет.
Если $$a\le 3,$$ то
$$x\in \left[\frac{a+3}{2},\,3\right].$$
При $$a=3$$ получаем единственное решение $$x=3.$$
б) Рассмотрим неравенство $$\sqrt{x+a}\ge \sqrt{13-x}.$$
Область определения:
$$x+a\ge 0,\qquad 13-x\ge 0.$$
Тогда
$$x+a\ge 13-x,\qquad 2x\ge 13-a,\qquad x\ge \frac{13-a}{2}.$$
Получаем систему
$$ \begin{cases} x\ge -a,\\ x\le 13,\\ x\ge \dfrac{13-a}{2}. \end{cases} $$
Если $$a<-13,$$ то решений нет.
Если $$a\ge -13,$$ то
$$x\in \left[\frac{13-a}{2},\,13\right].$$
При $$a=-13$$ получаем единственное решение $$x=13.$$
в) Рассмотрим неравенство $$\sqrt{x-a}\le \sqrt{23-x}.$$
Область определения:
$$x-a\ge 0,\qquad 23-x\ge 0.$$
Так как корень возрастает, то
$$x-a\le 23-x,\qquad 2x\le 23+a,\qquad x\le \frac{23+a}{2}.$$
Следовательно,
$$ \begin{cases} x\ge a,\\ x\le 23,\\ x\le \dfrac{23+a}{2}. \end{cases} $$
Если $$a>23,$$ то решений нет.
Если $$a\le 23,$$ то
$$x\in \left[a,\,\frac{23+a}{2}\right].$$
При $$a=23$$ получаем единственное решение $$x=23.$$
г) Рассмотрим неравенство $$\sqrt{x-a}\le \sqrt{33-x}.$$
Область определения:
$$x-a\ge 0,\qquad 33-x\ge 0.$$
Тогда
$$x-a\le 33-x,\qquad 2x\le 33+a,\qquad x\le \frac{33+a}{2}.$$
Получаем систему
$$ \begin{cases} x\ge a,\\ x\le 33,\\ x\le \dfrac{33+a}{2}. \end{cases} $$
Если $$a>33,$$ то решений нет.
Если $$a\le 33,$$ то
$$x\in \left[a,\,\frac{33+a}{2}\right].$$
При $$a=33$$ получаем единственное решение $$x=33.$$