Упр.15.15 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

• а) $$x^2+(a+1)x+a\geq 0$$; б) $$x^2+(a+2)x+2a\leq 0$$; в) $$x^2+(a-3)x-3a>0$$; г) $$x^2+(a-4)x-4a<0$$.

1. а) Рассмотрим неравенство $$x^2+(a+1)x+a\ge 0.$$

   Найдём дискриминант:

   $$D=(a+1)^2-4a=a^2-2a+1=(a-1)^2.$$

   При $$a=1$$ имеем $$x^2+2x+1=(x+1)^2\ge 0,$$ значит, решение — все $$x\in\mathbb R.$$

   При $$a\ne 1$$ корни уравнения $$x^2+(a+1)x+a=0$$ равны:

   $$x_1=\frac{-(a+1)-(a-1)}{2}=-a,\qquad x_2=\frac{-(a+1)+(a-1)}{2}=-1.$$

   Так как ветви параболы направлены вверх, то $$x^2+(a+1)x+a\ge 0$$ вне промежутка между корнями. С учётом их порядка получаем:

   если $$a<1,$$ то $$-a>-1$$ и $$x\le -1$$ или $$x\ge -a$$;
   если $$a>1,$$ то $$-a<-1$$ и $$x\le -a$$ или $$x\ge -1$$.

2. б) Рассмотрим неравенство $$x^2+(a+2)x+2a\le 0.$$

   Дискриминант:

   $$D=(a+2)^2-8a=a^2-4a+4=(a-2)^2.$$

   При $$a=2$$ получаем $$x^2+4x+4=(x+2)^2\le 0,$$ значит, $$x=-2.$$

   При $$a\ne 2$$ корни уравнения $$x^2+(a+2)x+2a=0$$:

   $$x_1=\frac{-(a+2)-(a-2)}{2}=-a,\qquad x_2=\frac{-(a+2)+(a-2)}{2}=-2.$$

   Тогда при $$a<2$$ имеем $$-a>-2$$ и

   $$-a\le x\le -2.$$

   При $$a>2$$ имеем $$-a<-2$$ и

   $$-2\le x\le -a.$$

3. в) Рассмотрим неравенство $$x^2+(a-3)x-3a>0.$$

   Дискриминант:

   $$D=(a-3)^2+12a=a^2+6a+9=(a+3)^2.$$

   При $$a=-3$$ получаем $$x^2-6x+9=(x-3)^2>0,$$ значит,

   $$x\in(-\infty;3)\cup(3;+\infty).$$

   При $$a\ne -3$$ корни уравнения $$x^2+(a-3)x-3a=0$$:

   $$x_1=\frac{-(a-3)-(a+3)}{2}=-a,\qquad x_2=\frac{-(a-3)+(a+3)}{2}=3.$$

   Так как требуется $$>0,$$ то решение — вне промежутка между корнями:

   если $$a<-3,$$ то $$-a>3$$ и $$x<3$$ или $$x>-a$$;
   если $$a>-3,$$ то $$-a<3$$ и $$x<-a$$ или $$x>3$$.

4. г) Рассмотрим неравенство $$x^2+(a-4)x-4a<0.$$

   Дискриминант:

   $$D=(a-4)^2+16a=a^2+8a+16=(a+4)^2.$$

   При $$a=-4$$ получаем $$x^2-8x+16=(x-4)^2<0,$$ решений нет.

   При $$a\ne -4$$ корни уравнения $$x^2+(a-4)x-4a=0$$:

   $$x_1=\frac{-(a-4)-(a+4)}{2}=-a,\qquad x_2=\frac{-(a-4)+(a+4)}{2}=4.$$

   Так как требуется $$<0,$$ то решение — между корнями:

   если $$a<-4,$$ то $$-a>4$$ и $$4<x<-a$$;
   если $$a>-4,$$ то $$-a<4$$ и $$-a<x<4$$.

Ответ

а) при $$a<1$$: $$x\le -1$$ или $$x\ge -a$$; при $$a>1$$: $$x\le -a$$ или $$x\ge -1$$; при $$a=1$$: $$x\in\mathbb R$$.
б) при $$a<2$$: $$-a\le x\le -2$$; при $$a>2$$: $$-2\le x\le -a$$; при $$a=2$$: $$x=-2$$.
в) при $$a<-3$$: $$x<3$$ или $$x>-a$$; при $$a>-3$$: $$x<-a$$ или $$x>3$$; при $$a=-3$$: $$x\in(-\infty;3)\cup(3;+\infty)$$.
г) при $$a<-4$$: $$4<x<-a$$; при $$a>-4$$: $$-a<x<4$$; при $$a=-4$$: решений нет.