Упр.15.19 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 15.19

Подробный ответ

а) Рассмотрим неравенство
$$\frac{\sqrt{x-a}}{x-1}\ge 0.$$
Чтобы дробь была неотрицательной, нужно, чтобы числитель был равен нулю, либо числитель и знаменатель были одного знака. Так как $$\sqrt{x-a}\ge 0,$$ то неравенство выполняется при
$$\sqrt{x-a}=0,\quad x-1>0.$$
Отсюда
$$x=a,\quad x>1.$$
Значит, решение зависит от положения параметра $$a$$:
- если $$a<1,$$ то $$x=a$$ не подходит, и остаётся $$x>1$$;
- если $$a=1,$$ то получаем $$x>1$$;
- если $$a>1,$$ то нужно $$x=a,$$ но тогда $$x>1$$ не выполняется, поэтому решений нет.
Итак,
$$ \begin{cases} a<1, & x>1,\\ a=1, & x>1,\\ a>1, & \text{решений нет}. \end{cases} $$
б) Рассмотрим неравенство
$$\frac{\sqrt{x-a}}{x+2}\le 0.$$
Так как $$\sqrt{x-a}\ge 0,$$ то неравенство выполняется, когда числитель равен нулю, а знаменатель отрицателен:
$$\sqrt{x-a}=0,\quad x+2<0.$$
Следовательно,
$$x=a,\quad x<-2.$$
Теперь рассмотрим случаи:
- если $$a<-2,$$ то $$x=a$$ и условие $$x<-2$$ выполняются, значит $$x=a$$;
- если $$a=-2,$$ то знаменатель обращается в нуль, решений нет;
- если $$a>-2,$$ то $$x=a$$ не удовлетворяет условию $$x<-2,$$ решений нет.
Итак,
$$ \begin{cases} a<-2, & x=a,\\ a=-2, & \text{решений нет},\\ a>-2, & \text{решений нет}. \end{cases} $$
в) Рассмотрим неравенство
$$\frac{x+3}{\sqrt{x-a}}\ge 0.$$
Так как знаменатель должен быть положительным, то
$$\sqrt{x-a}>0,\quad x-a>0.$$
Для выполнения неравенства достаточно, чтобы числитель был неотрицателен:
$$x+3\ge 0,$$
то есть
$$x\ge -3.$$
Совместим это с условием $$x>a.$$
- если $$a<-3,$$ то все $$x\ge -3$$ удовлетворяют условию $$x>a$$;
- если $$a=-3,$$ то получаем $$x>-3$$;
- если $$a>-3,$$ то нужно одновременно $$x\ge -3$$ и $$x>a,$$ то есть $$x>a.$$
Итак,
$$ \begin{cases} a<-3, & x\ge -3,\\ a=-3, & x>-3,\\ a>-3, & x>a. \end{cases} $$
г) Рассмотрим неравенство
$$\frac{x-4}{\sqrt{x-a}}\le 0.$$
Так как знаменатель должен быть положительным, то
$$\sqrt{x-a}>0,\quad x>a.$$
Чтобы дробь была неположительной, нужно
$$x-4\le 0,$$
то есть
$$x\le 4.$$
Совместим условия:
$$a<x\le 4.$$
Это возможно только при $$a<4.$$ Если $$a\ge 4,$$ решений нет.
Итак,
$$ \begin{cases} a<4, & a<x\le 4,\\ a\ge 4, & \text{решений нет}. \end{cases} $$