Упр.15.18 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) $$(x-a)\sqrt{x-1}\geq 0$$; б) $$(x-a)\sqrt{x-2}\leq 0$$; в) $$(x-3)\sqrt{x-a}\geq 0$$; г) $$(x-4)\sqrt{x-a}\leq 0$$.

а) Рассмотрим неравенство $$\left(x-a\right)\sqrt{x-1}\ge 0.$$

Область определения: $$x\ge 1.$$

Нули множителей: $$x=a$$ и $$x=1.$$

Если $$a>1,$$ то на области определения знак выражения неотрицателен при $$x=1$$ и при $$x\ge a.$$

Если $$a=1,$$ то $$\left(x-1\right)\sqrt{x-1}\ge 0$$ при всех $$x\ge 1.$$

Если $$a<1,$$ то на области определения $$x-a>0,$$ поэтому неравенство выполняется при всех $$x\ge 1.$$

Итак,

$$\begin{cases} x\ge a, & a>1,\\ x\ge 1, & a\le 1. \end{cases}$$

б) Рассмотрим неравенство $$\left(x-a\right)\sqrt{x-2}\le 0.$$

Область определения: $$x\ge 2.$$

Нули множителей: $$x=a$$ и $$x=2.$$

Если $$a>2,$$ то при $$2\le x\le a$$ имеем $$x-a\le 0,$$ значит, неравенство выполняется.

Если $$a=2,$$ то $$\left(x-2\right)\sqrt{x-2}\le 0$$ только при $$x=2.$$

Если $$a<2,$$ то на области определения $$x-a>0,$$ а значит, произведение не может быть неположительным, кроме точки $$x=2.$$

Следовательно,

$$\begin{cases} x\in[2;a], & a>2,\\ x=2, & a\le 2. \end{cases}$$

в) Рассмотрим неравенство $$\left(x-3\right)\sqrt{x-a}\ge 0.$$

Область определения: $$x\ge a.$$

Нули множителей: $$x=3$$ и $$x=a.$$

Если $$a<3,$$ то на области определения $$x-3\ge 0$$ только при $$x\ge 3,$$ а также при $$x=a$$ выражение равно нулю.

Если $$a=3,$$ то $$\left(x-3\right)\sqrt{x-3}\ge 0$$ при всех $$x\ge 3.$$

Если $$a>3,$$ то на области определения $$x-3\ge 0,$$ значит, неравенство выполняется при всех $$x\ge a.$$

Итак,

$$\begin{cases} x\in[a;+\infty), & a>3,\\ x\in\{a\}\cup[3;+\infty), & a\le 3. \end{cases}$$

г) Рассмотрим неравенство $$\left(x-4\right)\sqrt{x-a}\le 0.$$

Область определения: $$x\ge a.$$

Нули множителей: $$x=4$$ и $$x=a.$$

Если $$a<4,$$ то на области определения $$x-4\le 0$$ при $$a\le x\le 4,$$ значит, решение: $$x\in[a;4].$$

Если $$a=4,$$ то $$\left(x-4\right)\sqrt{x-4}\le 0$$ при всех $$x\ge 4.$$

Если $$a>4,$$ то на области определения $$x-4\le 0$$ только при $$x=4,$$ а также при $$x=a$$ произведение равно нулю.

Следовательно,

$$\begin{cases} x\in[a;4], & a<4,\\ x\in[4;+\infty), & a=4,\\ x\in\{4,a\}, & a>4. \end{cases}$$

Ответ

а) $$x\ge a$$ при $$a>1$$, $$x\ge 1$$ при $$a\le 1$$;
б) $$x\in[2;a]$$ при $$a>2$$, $$x=2$$ при $$a\le 2$$;
в) $$x\in[a;+\infty)$$ при $$a>3$$, $$x\in\{a\}\cup[3;+\infty)$$ при $$a\le 3$$;
г) $$x\in[a;4]$$ при $$a<4$$, $$x\in[4;+\infty)$$ при $$a=4$$, $$x\in\{4,a\}$$ при $$a>4$$.