Упр.15.17 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 15.17

Рассмотрим неравенство

$$\frac{x^2-a^2}{x-1}>0.$$

Область определения: $$x\ne 1.$$ Числитель разложим на множители:

$$\frac{(x-a)(x+a)}{x-1}>0.$$

Далее рассматриваем расположение точек $$-a,\ a,\ 1$$ на числовой прямой.

1. Если $$a=0,$$ то

   $$\frac{x^2}{x-1}>0.$$

   Так как $$x^2>0$$ при $$x\ne 0,$$ знак дроби определяется знаменателем, поэтому

   $$x>1.$$

2. Если $$a=1$$ или $$a=-1,$$ то

   $$\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}>0.$$

   При $$x\ne 1$$ получаем

   $$x+1>0,$$

   откуда

   $$x>-1,\quad x\ne 1.$$

   Значит,

   $$x\in(-1;1)\cup(1;+\infty).$$

3. Если $$a>1,$$ то точки $$-a,\ 1,\ a$$ расположены так: $$-a<1<a.$$ По методу интервалов получаем

   $$x>a \quad \text{или} \quad -a<x<1.$$

4. Если $$0<a<1,$$ то $$-a<a<1.$$ Тогда

   $$-a<x<a \quad \text{или} \quad x>1.$$

5. Если $$-1<a<0,$$ то $$a<-a<1.$$ Следовательно,

   $$x>1 \quad \text{или} \quad a<x<-a.$$

6. Если $$a<-1,$$ то $$a<1<-a.$$ Тогда

   $$x>-a \quad \text{или} \quad a<x<1.$$

Ответ

$$ \begin{aligned} &a=0: && x>1;\\ &a=\pm1: && x\in(-1;1)\cup(1;+\infty);\\ &a>1: && x\in(-a;1)\cup(a;+\infty);\\ &0<a<1: && x\in(-a;a)\cup(1;+\infty);\\ &-1<a<0: && x\in(a;-a)\cup(1;+\infty);\\ &a<-1: && x\in(a;1)\cup(-a;+\infty). \end{aligned} $$