Упр.15.16 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 15.16

Подробный ответ

Рассмотрим неравенство

$$\frac{x-1}{x-a}>0.$$

Знак дроби положителен, когда числитель и знаменатель одного знака. Критические точки: $$x=1$$ и $$x=a$$.

Разберём случаи.

Если $$a=1$$, то
$$\frac{x-1}{x-1}>0.$$
При $$x\ne 1$$ получаем $$1>0$$, значит
$$x\in(-\infty;1)\cup(1;+\infty).$$
Если $$a>1$$, то нули и точки разрыва идут в порядке $$1<a$$. По методу интервалов получаем
$$x<1 \quad \text{или} \quad x>a.$$
Следовательно,
$$x\in(-\infty;1)\cup(a;+\infty).$$
Если $$a<1$$, то порядок точек такой: $$a<1$$. Тогда
$$x<a \quad \text{или} \quad x>1.$$
Значит,
$$x\in(-\infty;a)\cup(1;+\infty).$$

Итак,

$$ x\in \begin{cases} (-\infty;a)\cup(1;+\infty), & a<1,\\ (-\infty;1)\cup(1;+\infty), & a=1,\\ (-\infty;1)\cup(a;+\infty), & a>1. \end{cases} $$