Упр.15.16 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

15.16

Рассмотрим неравенство

$$\frac{x-1}{x-a}>0.$$

Знак дроби положителен, когда числитель и знаменатель одного знака. Критические точки: $$x=1$$ и $$x=a$$.

Разберём случаи.

1. Если $$a=1$$, то

   $$\frac{x-1}{x-1}>0.$$

   При $$x\ne 1$$ получаем $$1>0$$, значит

   $$x\in(-\infty;1)\cup(1;+\infty).$$

2. Если $$a>1$$, то нули и точки разрыва идут в порядке $$1<a$$. По методу интервалов получаем

   $$x<1 \quad \text{или} \quad x>a.$$

   Следовательно,

   $$x\in(-\infty;1)\cup(a;+\infty).$$

3. Если $$a<1$$, то порядок точек такой: $$a<1$$. Тогда

   $$x<a \quad \text{или} \quad x>1.$$

   Значит,

   $$x\in(-\infty;a)\cup(1;+\infty).$$

Итак,

$$x\in \begin{cases} (-\infty;a)\cup(1;+\infty), & a<1,\\ (-\infty;1)\cup(1;+\infty), & a=1,\\ (-\infty;1)\cup(a;+\infty), & a>1. \end{cases}$$

Ответ

$$x\in \begin{cases} (-\infty;a)\cup(1;+\infty), & a<1,\\ (-\infty;1)\cup(1;+\infty), & a=1,\\ (-\infty;1)\cup(a;+\infty), & a>1. \end{cases}$$