Упр.15 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) Обозначим

$$y=3^{\log_2 5}\cdot 5^{-\log_2 3}.$$

Прологарифмируем по основанию $$2$$:

$$\log_2 y=\log_2\left(3^{\log_2 5}\right)+\log_2\left(5^{-\log_2 3}\right).$$

По свойству логарифма степени получаем:

$$\log_2 y=\log_2 5\cdot \log_2 3-\log_2 3\cdot \log_2 5=0.$$

Значит,

$$y=1.$$

б) Рассмотрим выражение

$$\left(\log_{\sqrt{2}} 9\right)\cdot (\log_8 3)^{-1}.$$

Преобразуем логарифмы:

$$\log_{\sqrt{2}} 9=\frac{\log_2 9}{\log_2 \sqrt{2}}=\frac{2\log_2 3}{1/2}=4\log_2 3,$$

$$\log_8 3=\frac{\log_2 3}{\log_2 8}=\frac{\log_2 3}{3}, \qquad (\log_8 3)^{-1}=\frac{3}{\log_2 3}.$$

Тогда

$$\left(\log_{\sqrt{2}} 9\right)\cdot (\log_8 3)^{-1}=4\log_2 3\cdot \frac{3}{\log_2 3}=12.$$

Ответ

а) $$1$$; б) $$12$$.