Упр.15.14 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
- а) $$x^2+ax\geq 0$$; б) $$x^2+ax+9<0$$; в) $$x^2-ax+4>0$$; г) $$x^2-ax+9\leq 0$$.
Рассмотрим неравенство $$x^2+ax+4\ge 0.$$
Дискриминант:
$$D=a^2-16.$$
Если $$D<0,$$ то есть $$a\in(-4;4),$$ квадратный трехчлен всегда положителен, значит решение — все $$x\in\mathbb R.$$
Если $$D=0,$$ то $$a=\pm 4,$$ и
$$x^2\pm 4x+4=(x\pm 2)^2\ge 0,$$
поэтому снова $$x\in\mathbb R.$$
Если $$D>0,$$ то есть $$a\in(-\infty;-4)\cup(4;+\infty),$$ корни равны
$$x_{1,2}=\frac{-a\pm\sqrt{a^2-16}}{2}.$$
Так как ветви параболы направлены вверх, то
$$x\in\left(-\infty;\frac{-a-\sqrt{a^2-16}}{2}\right]\cup\left[\frac{-a+\sqrt{a^2-16}}{2};+\infty\right).$$
Рассмотрим неравенство $$x^2+ax+9<0.$$
Дискриминант:
$$D=a^2-36.$$
Если $$D\le 0,$$ то есть $$a\in[-6;6],$$ квадратный трехчлен не принимает отрицательных значений, значит решений нет.
Если $$D>0,$$ то есть $$a\in(-\infty;-6)\cup(6;+\infty),$$ корни равны
$$x_{1,2}=\frac{-a\pm\sqrt{a^2-36}}{2}.$$
Тогда
$$x\in\left(\frac{-a-\sqrt{a^2-36}}{2};\frac{-a+\sqrt{a^2-36}}{2}\right).$$
Рассмотрим неравенство $$x^2-ax+4>0.$$
Дискриминант:
$$D=a^2-16.$$
Если $$D<0,$$ то есть $$a\in(-4;4),$$ то квадратный трехчлен положителен при всех $$x\in\mathbb R.$$
Если $$D=0,$$ то $$a=\pm 4,$$ и
$$x^2\mp 4x+4=(x\mp 2)^2>0,$$
поэтому
$$x\in(-\infty;-2)\cup(-2;+\infty)\quad \text{при } a=4,$$
$$x\in(-\infty;2)\cup(2;+\infty)\quad \text{при } a=-4.$$
Если $$D>0,$$ то есть $$a\in(-\infty;-4)\cup(4;+\infty),$$ корни равны
$$x_{1,2}=\frac{a\pm\sqrt{a^2-16}}{2}.$$
Тогда
$$x\in\left(-\infty;\frac{a-\sqrt{a^2-16}}{2}\right)\cup\left(\frac{a+\sqrt{a^2-16}}{2};+\infty\right).$$
Рассмотрим неравенство $$x^2-ax+9\le 0.$$
Дискриминант:
$$D=a^2-36.$$
Если $$D<0,$$ то есть $$a\in(-6;6),$$ решений нет.
Если $$D=0,$$ то $$a=\pm 6,$$ и
$$x^2\mp 6x+9=(x\mp 3)^2\le 0,$$
откуда
$$x=3\quad \text{при } a=6,\qquad x=-3\quad \text{при } a=-6.$$
Если $$D>0,$$ то есть $$a\in(-\infty;-6)\cup(6;+\infty),$$ корни равны
$$x_{1,2}=\frac{a\pm\sqrt{a^2-36}}{2}.$$
Тогда
$$x\in\left[\frac{a-\sqrt{a^2-36}}{2};\frac{a+\sqrt{a^2-36}}{2}\right].$$
Ответ
а) при $$a\in(-4;4)$$ и при $$a=\pm 4$$: $$x\in\mathbb R$$; при $$a\in(-\infty;-4)\cup(4;+\infty)$$: $$x\in\left(-\infty;\frac{-a-\sqrt{a^2-16}}{2}\right]\cup\left[\frac{-a+\sqrt{a^2-16}}{2};+\infty\right)$$.
б) при $$a\in[-6;6]$$ решений нет; при $$a\in(-\infty;-6)\cup(6;+\infty)$$: $$x\in\left(\frac{-a-\sqrt{a^2-36}}{2};\frac{-a+\sqrt{a^2-36}}{2}\right).$$
в) при $$a\in(-4;4)$$: $$x\in\mathbb R$$; при $$a=4$$: $$x\in(-\infty;-2)\cup(-2;+\infty)$$; при $$a=-4$$: $$x\in(-\infty;2)\cup(2;+\infty)$$; при $$a\in(-\infty;-4)\cup(4;+\infty)$$: $$x\in\left(-\infty;\frac{a-\sqrt{a^2-16}}{2}\right)\cup\left(\frac{a+\sqrt{a^2-16}}{2};+\infty\right).$$
г) при $$a\in(-6;6)$$ решений нет; при $$a=6$$: $$x=3$$; при $$a=-6$$: $$x=-3$$; при $$a\in(-\infty;-6)\cup(6;+\infty)$$: $$x\in\left[\frac{a-\sqrt{a^2-36}}{2};\frac{a+\sqrt{a^2-36}}{2}\right].$$
