Упр.15.13 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
- а) $$ax^2-x<0$$; б) $$ax^2-x>0$$; в) $$ax^2+x\geq 0$$; г) $$ax^2+x\leq 0$$.
а) Рассмотрим неравенство $$ax^2-x<0.$$
При $$a=0$$ получаем $$-x<0,$$ откуда $$x>0.$$
При $$a>0$$:
$$ax^2-x<0 \iff x(ax-1)<0.$$
Произведение отрицательно, когда множители разных знаков. С учётом $$a>0$$ получаем
$$0<x<\frac{1}{a}.$$
При $$a<0$$:
$$x(ax-1)<0 \iff 0<x<\frac{1}{a}.$$
Но при $$a<0$$ число $$\frac{1}{a}<0,$$ поэтому таких $$x$$ нет.
б) Рассмотрим неравенство $$ax^2-x>0.$$
При $$a=0$$ получаем $$-x>0,$$ то есть $$x<0.$$
При $$a>0$$:
$$x(ax-1)>0.$$
Произведение положительно, когда оба множителя одного знака. Тогда
$$x<0 \quad \text{или} \quad x>\frac{1}{a}.$$
При $$a<0$$:
$$x(ax-1)>0.$$
Так как $$\frac{1}{a}<0,$$ получаем
$$x<\frac{1}{a} \quad \text{или} \quad x>0.$$
в) Рассмотрим неравенство $$ax^2+x\ge 0.$$
При $$a=0$$ получаем $$x\ge 0.$$
При $$a>0$$:
$$x(ax+1)\ge 0.$$
Отсюда
$$x\le -\frac{1}{a} \quad \text{или} \quad x\ge 0.$$
При $$a<0$$:
$$x(ax+1)\ge 0,$$
поэтому
$$x\ge -\frac{1}{a} \quad \text{или} \quad x\le 0.$$
г) Рассмотрим неравенство $$ax^2+x\le 0.$$
При $$a=0$$ получаем $$x\le 0.$$
При $$a>0$$:
$$x(ax+1)\le 0,$$
откуда
$$-\frac{1}{a}\le x\le 0.$$
При $$a<0$$:
$$x(ax+1)\le 0,$$
поэтому
$$0\le x\le -\frac{1}{a}.$$
Ответ
а) при $$a=0$$: $$x>0$$; при $$a>0$$: $$0<x<\frac{1}{a}$$; при $$a<0$$: решений нет.
б) при $$a=0$$: $$x<0$$; при $$a>0$$: $$x<0$$ или $$x>\frac{1}{a}$$; при $$a<0$$: $$x<\frac{1}{a}$$ или $$x>0$$.
в) при $$a=0$$: $$x\ge 0$$; при $$a>0$$: $$x\le -\frac{1}{a}$$ или $$x\ge 0$$; при $$a<0$$: $$x\ge -\frac{1}{a}$$ или $$x\le 0$$.
г) при $$a=0$$: $$x\le 0$$; при $$a>0$$: $$-\frac{1}{a}\le x\le 0$$; при $$a<0$$: $$0\le x\le -\frac{1}{a}$$.
