Упр.15.12 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
- а) $$a(x^2-x)>0$$; б) $$a(x^2-x)\leq 0$$; в) $$a(x^2+x)\geq 0$$; г) $$a(x^2+x)<0$$.
Рассмотрим неравенства по отдельности.
$$ax(x-1)>0$$
Если $$a=0$$, то получаем $$0>0$$ — решений нет.
Если $$a>0$$, то нужно решить
$$x(x-1)>0,$$
откуда
$$x<0 \text{ или } x>1.$$
Если $$a<0$$, то знак неравенства меняется:
$$x(x-1)<0,$$
откуда
$$0<x<1.$$
$$ax(x-1)\le 0$$
Если $$a=0$$, то неравенство верно при любом $$x$$.
Если $$a>0$$, то
$$x(x-1)\le 0,$$
значит
$$0\le x\le 1.$$
Если $$a<0$$, то
$$x(x-1)\ge 0,$$
значит
$$x\le 0 \text{ или } x\ge 1.$$
$$ax(x+1)\ge 0$$
Если $$a=0$$, то неравенство верно при любом $$x$$.
Если $$a>0$$, то
$$x(x+1)\ge 0,$$
откуда
$$x\le -1 \text{ или } x\ge 0.$$
Если $$a<0$$, то
$$x(x+1)\le 0,$$
значит
$$-1\le x\le 0.$$
$$ax(x+1)<0$$
Если $$a=0$$, то получаем $$0<0$$ — решений нет.
Если $$a>0$$, то
$$x(x+1)<0,$$
значит
$$-1<x<0.$$
Если $$a<0$$, то
$$x(x+1)>0,$$
откуда
$$x<-1 \text{ или } x>0.$$
Ответ
а) при $$a>0$$: $$x<0$$ или $$x>1$$; при $$a<0$$: $$0<x<1$$; при $$a=0$$: решений нет.
б) при $$a>0$$: $$0\le x\le 1$$; при $$a<0$$: $$x\le 0$$ или $$x\ge 1$$; при $$a=0$$: любое $$x$$.
в) при $$a>0$$: $$x\le -1$$ или $$x\ge 0$$; при $$a<0$$: $$-1\le x\le 0$$; при $$a=0$$: любое $$x$$.
г) при $$a>0$$: $$-1<x<0$$; при $$a<0$$: $$x<-1$$ или $$x>0$$; при $$a=0$$: решений нет.
