Упр.15.11 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) $$ax^2<4$$;

б) $$ax^2>-4$$;

в) $$ax^2\leq -9$$;

г) $$ax^2\geq 16$$.

а) Рассмотрим неравенство $$ax^2<4.$$

1) Если $$a=0,$$ то получаем $$0<4,$$ значит, решение — любое $$x\in\mathbb R.$$

2) Если $$a<0,$$ то при любом $$x$$ имеем $$ax^2\le 0<4,$$ следовательно, решение — любое $$x\in\mathbb R.$$

3) Если $$a>0,$$ то

$$x^2<\frac{4}{a} \quad \Longleftrightarrow \quad -\frac{2}{\sqrt a}<x<\frac{2}{\sqrt a}.$$

б) Рассмотрим неравенство $$ax^2>-4.$$

1) Если $$a=0,$$ то $$0>-4,$$ значит, решение — любое $$x\in\mathbb R.$$

2) Если $$a<0,$$ то

$$x^2<-\frac{4}{a} \quad \Longleftrightarrow \quad -\frac{2}{\sqrt{-a}}<x<\frac{2}{\sqrt{-a}}.$$

3) Если $$a>0,$$ то $$ax^2\ge 0>-4,$$ следовательно, решение — любое $$x\in\mathbb R.$$

в) Рассмотрим неравенство $$ax^2\le -9.$$

Если $$a\ge 0,$$ то левая часть неотрицательна, а правая отрицательна, поэтому решений нет.

Если $$a<0,$$ то

$$x^2\ge -\frac{9}{a} \quad \Longleftrightarrow \quad x\in\left(-\infty;-\frac{3}{\sqrt{-a}}\right]\cup\left[\frac{3}{\sqrt{-a}};+\infty\right).$$

г) Рассмотрим неравенство $$ax^2\ge 16.$$

Если $$a\le 0,$$ то левая часть не больше нуля, а правая положительна, поэтому решений нет.

Если $$a>0,$$ то

$$x^2\ge \frac{16}{a} \quad \Longleftrightarrow \quad x\in\left(-\infty;-\frac{4}{\sqrt a}\right]\cup\left[\frac{4}{\sqrt a};+\infty\right).$$

Ответ

а) при $$a\le 0$$: $$x\in\mathbb R$$; при $$a>0$$: $$x\in\left(-\frac{2}{\sqrt a};\frac{2}{\sqrt a}\right).$$
б) при $$a\ge 0$$: $$x\in\mathbb R$$; при $$a<0$$: $$x\in\left(-\frac{2}{\sqrt{-a}};\frac{2}{\sqrt{-a}}\right).$$
в) при $$a\ge 0$$: решений нет; при $$a<0$$: $$x\in\left(-\infty;-\frac{3}{\sqrt{-a}}\right]\cup\left[\frac{3}{\sqrt{-a}};+\infty\right).$$
г) при $$a\le 0$$: решений нет; при $$a>0$$: $$x\in\left(-\infty;-\frac{4}{\sqrt a}\right]\cup\left[\frac{4}{\sqrt a};+\infty\right).$$