Упр.15.10 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
- 15.10. Для каждого значения параметра $$a$$ решите неравенства:
а) $$(a-1)x>a^2-1$$;
б) $$(a+2)x>a^2-4$$;
в) $$(a+3)x\geq a^2-9$$;
г) $$(a-4)x\leq a^2-16$$.
а) $$\left(a-1\right)x>a^2-1.$$
Рассмотрим случаи по знаку коэффициента при $$x$$.
Если $$a=1$$, то получаем:
$$0\cdot x>0,$$
решений нет.
Если $$a>1$$, то $$a-1>0$$, поэтому
$$x>\frac{a^2-1}{a-1}=\frac{(a-1)(a+1)}{a-1}=a+1.$$
Если $$a<1$$, то $$a-1<0$$, знак неравенства меняется:
$$x<\frac{a^2-1}{a-1}=\frac{(a-1)(a+1)}{a-1}=a+1.$$
б) $$\left(a+2\right)x>a^2-4.$$
Если $$a=-2$$, то
$$0\cdot x>0,$$
решений нет.
Если $$a>-2$$, то $$a+2>0$$, значит
$$x>\frac{a^2-4}{a+2}=\frac{(a-2)(a+2)}{a+2}=a-2.$$
Если $$a<-2$$, то $$a+2<0$$, поэтому
$$x<\frac{a^2-4}{a+2}=\frac{(a-2)(a+2)}{a+2}=a-2.$$
в) $$\left(a+3\right)x\ge a^2-9.$$
Если $$a=-3$$, то
$$0\cdot x\ge 0,$$
подходит любое $$x$$.
Если $$a>-3$$, то $$a+3>0$$, значит
$$x\ge \frac{a^2-9}{a+3}=\frac{(a-3)(a+3)}{a+3}=a-3.$$
Если $$a<-3$$, то $$a+3<0$$, знак неравенства меняется:
$$x\le \frac{a^2-9}{a+3}=\frac{(a-3)(a+3)}{a+3}=a-3.$$
г) $$\left(a-4\right)x\le a^2-16.$$
Если $$a=4$$, то
$$0\cdot x\le 0,$$
подходит любое $$x$$.
Если $$a>4$$, то $$a-4>0$$, поэтому
$$x\le \frac{a^2-16}{a-4}=\frac{(a-4)(a+4)}{a-4}=a+4.$$
Если $$a<4$$, то $$a-4<0$$, знак неравенства меняется:
$$x\ge \frac{a^2-16}{a-4}=\frac{(a-4)(a+4)}{a-4}=a+4.$$
Ответ
а) при $$a=1$$ решений нет; при $$a>1$$ $$x>a+1$$; при $$a<1$$ $$x<a+1$$.
б) при $$a=-2$$ решений нет; при $$a>-2$$ $$x>a-2$$; при $$a<-2$$ $$x<a-2$$.
в) при $$a=-3$$ любое $$x$$; при $$a>-3$$ $$x\ge a-3$$; при $$a<-3$$ $$x\le a-3$$.
г) при $$a=4$$ любое $$x$$; при $$a>4$$ $$x\le a+4$$; при $$a<4$$ $$x\ge a+4$$.
