Упр.149 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

$$\cos\bigl(\pi(x+3\sqrt{x})\bigr)\cos\bigl(\pi(2x-\sqrt{x})\bigr)=-1$$

Подробный ответ

Пусть

$$a=\pi(x+3\sqrt{x}), \qquad b=\pi(2x-\sqrt{x}).$$

Тогда данное уравнение имеет вид

$$\cos a \cos b=-1.$$

По формуле произведения косинусов получаем

$$\cos a \cos b=\frac12\bigl(\cos(a+b)+\cos(a-b)\bigr),$$

значит

$$\cos\bigl(\pi(3x+2\sqrt{x})\bigr)+\cos\bigl(\pi(x-4\sqrt{x})\bigr)=-2.$$

Так как каждое значение косинуса не меньше $$-1$$, то сумма равна $$-2$$ только тогда, когда

$$\cos\bigl(\pi(3x+2\sqrt{x})\bigr)=-1, \qquad \cos\bigl(\pi(x-4\sqrt{x})\bigr)=-1.$$

Следовательно,

$$3x+2\sqrt{x}=2k+1, \qquad x-4\sqrt{x}=2n+1, \qquad k,n\in \mathbb Z.$$

Положим $$t=\sqrt{x}\ge 0$$. Тогда $$x=t^2$$, и система принимает вид

$$\begin{cases} 3t^2+2t=2k+1,\\ t^2-4t=2n+1. \end{cases}$$

Вычтем из первого уравнения удвоенное второе:

$$3t^2+2t-2(t^2-4t)=2k+1-2(2n+1),$$

откуда

$$t^2+10t=2k-4n-1.$$

Но левая часть при $$t\ge 0$$ неотрицательна, а правая часть — нечётное целое число. Удобнее воспользоваться второй формой системы: из условий

$$3t^2+2t\equiv 1 \pmod 2, \qquad t^2-4t\equiv 1 \pmod 2$$

получаем, что $$t^2$$ должно быть целым числом. Значит, $$t=m$$, где $$m\in \mathbb N_0$$.

Тогда

$$\begin{cases} 3m^2+2m=2k+1,\\ m^2-4m=2n+1. \end{cases}$$

Из второго уравнения видно, что $$m^2-4m$$ — нечётное число. Проверим значения по модулю $$2$$: это возможно только при нечётном $$m$$. Пусть $$m=2s+1$$. Тогда

$$x=m^2=(2s+1)^2.$$

Подстановка в исходное уравнение даёт

$$\cos\bigl(\pi((2s+1)^2+3(2s+1))\bigr)\cos\bigl(\pi(2(2s+1)^2-(2s+1))\bigr)=-1,$$

и оба косинуса равны $$-1$$ при нечётных целых аргументах. Следовательно, все решения имеют вид

$$x=(2s+1)^2,\qquad s\in \mathbb N_0.$$