Упр.148 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

б) корень (|х2 — 12х + 34| — 1) = | х — 6| — 1.

а) Рассмотрим уравнение

$$\sqrt{|x^2+14x+47|}-1=|x+7|-1.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$|x^2+14x+47|=(|x+7|)^2=x^2+14x+49.$$

Обозначим $$t=x^2+14x+47.$$ Тогда получаем

$$|t|=t+2.$$

Это возможно, если $$t\ge 0$$ и $$2=2$$, либо если $$t<0$$ и $$-t=t+2.$$

1) Если $$x^2+14x+47\ge 0,$$ то

$$x^2+14x+47=x^2+14x+49,$$

откуда противоречие. Значит, этот случай решений не даёт.

2) Если $$x^2+14x+47<0,$$ то

$$-(x^2+14x+47)=x^2+14x+49,$$

$$2x^2+28x+96=0,$$

$$x^2+14x+48=0,$$

$$ (x+6)(x+8)=0.$$

Отсюда

$$x=-6,\quad x=-8.$$

Проверка показывает, что оба корня подходят.

б) Рассмотрим уравнение

$$\sqrt{|x^2-12x+34|}-1=|x-6|-1.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$|x^2-12x+34|=(|x-6|)^2=x^2-12x+36.$$

Пусть $$t=x^2-12x+34.$$ Тогда

$$|t|=t+2.$$

Если $$t\ge 0,$$ то

$$x^2-12x+34=x^2-12x+36,$$

что невозможно. Значит, $$t<0.$$ Тогда

$$-(x^2-12x+34)=x^2-12x+36,$$

$$2x^2-24x+70=0,$$

$$x^2-12x+35=0,$$

$$ (x-5)(x-7)=0.$$

Отсюда

$$x=5,\quad x=7.$$

Проверка показывает, что оба корня подходят.

Ответ

а) $$x=-8,\,-6$$

б) $$x=5,\,7$$