Упр.147 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

б) |х — 2| + |х — 8| = 6sinx;
в) |х + 5| + |х — 1| = 6sinx.

Подробный ответ

Рассмотрим уравнение $$|5-x|+|x+1|=6\sin x.$$
Точки смены знака под модулем: $$x=-1$$ и $$x=5.$$ Поэтому разбиваем ось на промежутки $$(-\infty;-1],\ [-1;5],\ [5;+\infty).$$
1) При $$x\le -1$$ имеем
$$|5-x|=5-x,\quad |x+1|=-(x+1),$$
значит
$$|5-x|+|x+1|=5-x-(x+1)=4-2x.$$
Тогда нужно решить $$4-2x=6\sin x.$$ По графику левая и правая части пересекаются при $$x=\frac{\pi}{2}.$$
2) При $$-1\le x\le 5$$
$$|5-x|=5-x,\quad |x+1|=x+1,$$
поэтому
$$|5-x|+|x+1|=5-x+x+1=6.$$
Получаем уравнение $$6=6\sin x,$$ откуда $$\sin x=1.$$ На этом промежутке подходит $$x=\frac{\pi}{2}.$$
3) При $$x\ge 5$$
$$|5-x|=x-5,\quad |x+1|=x+1,$$
значит
$$|5-x|+|x+1|=x-5+x+1=2x-4.$$
Решаем $$2x-4=6\sin x.$$ По графику на этом промежутке решений нет.
Рассмотрим уравнение $$|x-2|+|x-8|=6\sin x.$$
Точки смены знака: $$x=2$$ и $$x=8.$$ Разбиваем ось на промежутки $$(-\infty;2],\ [2;8],\ [8;+\infty).$$
1) При $$x\le 2$$
$$|x-2|=2-x,\quad |x-8|=8-x,$$
поэтому
$$|x-2|+|x-8|=10-2x.$$
Решаем $$10-2x=6\sin x.$$ По графику получаем $$x=\frac{5\pi}{2}.$$
2) При $$2\le x\le 8$$
$$|x-2|=x-2,\quad |x-8|=8-x,$$
значит
$$|x-2|+|x-8|=6.$$
Тогда $$6=6\sin x,$$ откуда $$\sin x=1.$$ На этом промежутке подходит $$x=\frac{\pi}{2}.$$
3) При $$x\ge 8$$
$$|x-2|=x-2,\quad |x-8|=x-8,$$
поэтому
$$|x-2|+|x-8|=2x-10.$$
Решаем $$2x-10=6\sin x.$$ По графику решений нет.
Рассмотрим уравнение $$|x+5|+|x-1|=6\sin x.$$
Точки смены знака: $$x=-5$$ и $$x=1.$$ Разбиваем ось на промежутки $$(-\infty;-5],\ [-5;1],\ [1;+\infty).$$
1) При $$x\le -5$$
$$|x+5|=-(x+5),\quad |x-1|=-(x-1),$$
значит
$$|x+5|+|x-1|=-2x-4.$$
Решаем $$-2x-4=6\sin x.$$ По графику решений нет.
2) При $$-5\le x\le 1$$
$$|x+5|=x+5,\quad |x-1|=-(x-1),$$
поэтому
$$|x+5|+|x-1|=6.$$
Тогда $$6=6\sin x,$$ откуда $$\sin x=1.$$ На этом промежутке подходит $$x=\frac{\pi}{2}.$$
3) При $$x\ge 1$$
$$|x+5|=x+5,\quad |x-1|=x-1,$$
значит
$$|x+5|+|x-1|=2x+4.$$
Решаем $$2x+4=6\sin x.$$ По графику решений нет.