Упр.146 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 146 (МГУ, мехмат)
а) Используем формулы
$$1+\cos 4x=2\cos^2 2x,\qquad 1-\cos 4x=2\sin^2 2x,$$
а также
$$\tg\left(\frac{9\pi}{2}-2x\right)=\ctg 2x.$$
Тогда уравнение равносильно
$$\sqrt[8]{\ctg 2x}+\sqrt[3]{\ctg 2x}=0.$$
Положим
$$u=\sqrt[8]{|\ctg 2x|},\qquad v=\sqrt[3]{\ctg 2x}.$$
Тогда
$$u+v=0,\qquad \ctg 2x=u^8,\qquad \ctg 2x=v^3.$$
Из равенства $$u+v=0$$ получаем $$v=-u.$$ Подставим в $$\ctg 2x=u^8=v^3$$:
$$u^8=(-u)^3=-u^3,$$
откуда
$$u^3(u^5+1)=0.$$
Так как $$u\ge 0,$$ то возможен только случай $$u=0.$$ Тогда
$$\ctg 2x=0.$$
Следовательно,
$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\qquad x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\quad k\in\mathbb Z.$$
б) Используем формулы
$$1-\cos 8x=2\sin^2 4x,\qquad 1+\cos 8x=2\cos^2 4x,$$
а также
$$\ctg\left(\frac{5\pi}{2}-4x\right)=\tg 4x.$$
Тогда уравнение равносильно
$$\sqrt[4]{\tg 4x}+\sqrt[7]{\tg 4x}=0.$$
Положим
$$u=\sqrt[4]{|\tg 4x|},\qquad v=\sqrt[7]{\tg 4x}.$$
Тогда
$$u+v=0,\qquad \tg 4x=u^4,\qquad \tg 4x=v^7.$$
Из $$u+v=0$$ имеем $$v=-u.$$ Подставим в $$\tg 4x=u^4=v^7$$:
$$u^4=(-u)^7=-u^7,$$
то есть
$$u^4(u^3+1)=0.$$
Так как $$u\ge 0,$$ получаем $$u=0.$$ Значит,
$$\tg 4x=0.$$
Следовательно,
$$4x=\pi k,\qquad x=\frac{\pi k}{4},\quad k\in\mathbb Z.$$
Ответ
а) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\ k\in\mathbb Z.$$
б) $$x=\frac{\pi k}{4},\ k\in\mathbb Z.$$
