Упр.144 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 144 (МГУ, почв. ф-т). log пи |x2-1| = log корень пи |x|.

Используем свойство логарифмов:

$$\log_{\pi}|x^2-1|=\log_{\sqrt{\pi}}|x|$$

Так как $$\sqrt{\pi}=\pi^{1/2},$$ то

$$\log_{\sqrt{\pi}}|x|=2\log_{\pi}|x|.$$

Тогда уравнение равносильно

$$\log_{\pi}|x^2-1|=2\log_{\pi}|x|=\log_{\pi}|x|^2.$$

При одинаковых основаниях получаем

$$|x^2-1|=|x|^2=x^2.$$

Рассмотрим модуль:

$$|x^2-1|=x^2.$$

Если $$x^2-1\ge 0,$$ то

$$x^2-1=x^2,$$

что невозможно.

Если $$x^2-1<0,$$ то

$$1-x^2=x^2,$$

откуда

$$2x^2=1,\qquad x^2=\frac12,\qquad x=\pm\frac{\sqrt2}{2}.$$

Проверим область допустимых значений: $$x\ne 0,$$ $$x^2-1\ne 0,$$ то есть $$x\ne \pm1.$$ Найденные значения этим условиям удовлетворяют.

Ответ

$$x=\pm\frac{\sqrt2}{2}.$$