Упр.143 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) log4x-8(x2 — 2х — 3) = 1;
б) log5-2x(x2 — 6х + 8) = 1.

а) Рассмотрим уравнение

$$\log_{4x-8}(x^2-2x-3)=1.$$

Для существования логарифма нужно, чтобы

$$4x-8>0,\quad 4x-8\ne 1,\quad x^2-2x-3>0.$$

Из первых двух условий получаем

$$x>2,\quad x\ne \frac94.$$

Разложим квадратный трёхчлен на множители:

$$x^2-2x-3=(x-3)(x+1).$$

Тогда

$$x^2-2x-3>0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; x\in(-\infty;-1)\cup(3;+\infty).$$

Пересечение с условием $$x>2$$ даёт

$$x\in(3;+\infty).$$

На этом множестве уравнение равносильно

$$x^2-2x-3=4x-8.$$

Решим:

$$x^2-6x+5=0$$

$$ (x-1)(x-5)=0.$$

Получаем корни $$x=1$$ и $$x=5$$, но условию $$x>2$$ удовлетворяет только $$x=5$$.

б) Рассмотрим уравнение

$$\log_{5-2x}(x^2-6x+8)=1.$$

Область допустимых значений:

$$5-2x>0,\quad 5-2x\ne 1,\quad x^2-6x+8>0.$$

Отсюда

$$x<\frac52,\quad x\ne 2.$$

Разложим квадратный трёхчлен:

$$x^2-6x+8=(x-2)(x-4).$$

Тогда

$$x^2-6x+8>0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; x\in(-\infty;2)\cup(4;+\infty).$$

С учётом условия $$x<\frac52$$ получаем

$$x\in(-\infty;2).$$

На этом множестве уравнение равносильно

$$x^2-6x+8=5-2x.$$

Решим:

$$x^2-4x+3=0$$

$$ (x-1)(x-3)=0.$$

Корни: $$x=1$$ и $$x=3$$. Условию $$x<2$$ удовлетворяет только $$x=1$$.

Ответ

а) $$x=5$$; б) $$x=1$$.