Упр.141 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) xlog7(4) + 5* 2log7(x) — 4=0;
б) xlog5(9) + 7* 3log5(x) — 11=0.

а) Обозначим $$t=2^{\log_7 x}.$$ Тогда

$$x^{\log_7 4}=2^{2\log_7 x}=t^2,$$

и исходное уравнение принимает вид

$$t^2+5t-4=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=5^2-4\cdot 1\cdot(-4)=41,$$

$$t_{1,2}=\frac{-5\pm\sqrt{41}}{2}.$$

Так как $$t=2^{\log_7 x}>0,$$ то подходит только

$$t=\frac{\sqrt{41}-5}{2}.$$

Тогда

$$2^{\log_7 x}=\frac{\sqrt{41}-5}{2},$$

откуда

$$\log_7 x=\log_2\frac{\sqrt{41}-5}{2}.$$

Следовательно,

$$x=7^{\log_2\frac{\sqrt{41}-5}{2}}.$$

б) Обозначим $$t=3^{\log_5 x}.$$ Тогда

$$x^{\log_5 9}=9^{\log_5 x}=3^{2\log_5 x}=t^2,$$

и уравнение переходит в

$$t^2+7t-11=0.$$

Решим его:

$$D=7^2-4\cdot 1\cdot(-11)=93,$$

$$t_{1,2}=\frac{-7\pm\sqrt{93}}{2}.$$

Так как $$t=3^{\log_5 x}>0,$$ то подходит только

$$t=\frac{\sqrt{93}-7}{2}.$$

Тогда

$$3^{\log_5 x}=\frac{\sqrt{93}-7}{2},$$

откуда

$$\log_5 x=\log_3\frac{\sqrt{93}-7}{2}.$$

Следовательно,

$$x=5^{\log_3\frac{\sqrt{93}-7}{2}}.$$

Ответ

а) $$x=7^{\log_2\frac{\sqrt{41}-5}{2}}$$; б) $$x=5^{\log_3\frac{\sqrt{93}-7}{2}}$$.