Упр.140 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

б) 2^(х-2) + 2^(2 — х) = -х2 + 4х — 2.

а) Обозначим $$t=2^{x-3}$$, тогда $$t>0$$ и $$2^{3-x}=\frac{1}{t}$$. Получаем

$$t+\frac{1}{t}=x^2+6x-7.$$

С другой стороны,

$$x^2+6x-7=(x+3)^2-16.$$

Рассмотрим функции

$$f(x)=2^{x-3}+\frac{1}{2^{x-3}}, \qquad g(x)=x^2+6x-7.$$

Для любого $$t>0$$ верно неравенство

$$t+\frac{1}{t}\ge 2,$$

причём равенство достигается только при $$t=1$$. Значит,

$$f(x)\ge 2.$$

А выражение $$g(x)=2-(x-3)^2$$ не превосходит $$2$$, то есть

$$g(x)\le 2.$$

Равенство возможно только тогда, когда

$$f(x)=2 \quad \text{и} \quad g(x)=2.$$

Из $$f(x)=2$$ получаем

$$2^{x-3}=1,$$

откуда

$$x-3=0,$$

то есть

$$x=3.$$

Проверка: при $$x=3$$ левая и правая части равны.

б) Аналогично, положим $$t=2^{x-2}$$, тогда $$t>0$$ и $$2^{2-x}=\frac{1}{t}$$. Имеем

$$t+\frac{1}{t}=-x^2+4x-2.$$

Преобразуем правую часть:

$$-x^2+4x-2=-(x-2)^2+2.$$

Рассмотрим функции

$$f(x)=2^{x-2}+\frac{1}{2^{x-2}}, \qquad g(x)=-(x-2)^2+2.$$

По неравенству $$a+\frac{1}{a}\ge 2$$ при $$a>0$$ получаем

$$f(x)\ge 2.$$

Кроме того,

$$g(x)\le 2.$$

Следовательно, равенство возможно только при

$$f(x)=2 \quad \text{и} \quad g(x)=2.$$

Из $$f(x)=2$$ следует

$$2^{x-2}=1,$$

значит,

$$x-2=0,$$

то есть

$$x=2.$$

Проверка показывает, что это значение подходит.

Ответ

а) $$3$$; б) $$2$$.