Упр.14.8 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
- Решите систему уравнений, используя сложение уравнений:
а) $$\begin{cases} \sin^2 x+\sqrt{y-2}=2,\\ \cos^2 x+\sqrt{y-2}=3; \end{cases}$$
б) $$\begin{cases} \log_3(x-2)+\sqrt{y+1}=2,\\ \log_3(x-2)-\sqrt{y+1}=-2; \end{cases}$$
в) $$\begin{cases} \sin x\cos x+\cos y=1,\\ \sin x\cos x-\cos y=0; \end{cases}$$
г) $$\begin{cases} \sin x\cos x-\sqrt{y}=1,\\ \sin y\cos x+\sqrt{y}=0; \end{cases}$$
д) $$\begin{cases} \sin^2(2\cos x)+y^2=5,\\ \cos^2(2\cos x)+2y=4. \end{cases}$$
а) Сложим уравнения системы:
$$(\sin^2 x+\sqrt{y-2}-2)-(\cos^2 x+\sqrt{y-2}-3)=\sin^2 x-\cos^2 x+1$$
Получаем:
$$\sin^2 x-\cos^2 x+1=0$$
$$-\cos 2x+1=0,\qquad \cos 2x=1$$
$$x=\pi k,\quad k\in \mathbb Z$$
Подставим в первое уравнение:
$$\sqrt{y-2}=2$$
$$y-2=4,\qquad y=6$$
б) Сложим уравнения системы:
$$(\log_3(x-2)+\sqrt{y+1}-2)+(\log_3(x-2)-\sqrt{y+1}=-2)$$
$$2\log_3(x-2)=0$$
$$\log_3(x-2)=0,\qquad x-2=1,\qquad x=3$$
Подставим в первое уравнение:
$$\sqrt{y+1}=2$$
$$y+1=4,\qquad y=3$$
в) Сложим уравнения системы:
$$(\sin x\cos x+\cos y-1)+(\sin x\cos x-\cos y)=2\sin x\cos x-1$$
$$\sin 2x=1$$
$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z$$
Подставим во второе уравнение:
$$\cos y=\sin x\cos x$$
$$2\cos y=\sin 2x=1$$
$$\cos y=\frac12$$
$$y=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in \mathbb Z$$
г) Сложим уравнения системы:
$$(\sin x\cos x-\sqrt y-1)+(\sin x\cos x+\sqrt y)=2\sin x\cos x-1$$
$$\sin 2x=1$$
$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z$$
Подставим во второе уравнение:
$$\sqrt y=-\sin x\cos x$$
$$2\sqrt y=-\sin 2x=-1$$
Это невозможно, так как левая часть неотрицательна, а правая отрицательна. Следовательно, решений нет.
д) Сложим уравнения системы:
$$(\sin^2(2\cos x)+y^2-5)-(\cos^2(2\cos x)+2y-4)=1+y^2+2y-9$$
$$y^2+2y-8=0$$
$$(y+4)(y-2)=0$$
$$y=-4 \text{ или } y=2$$
Так как в системе есть выражение $$\sqrt y$$, то $$y\ge 0$$, значит $$y=2$$.
Подставим в первое уравнение:
$$\sin^2(2\cos x)=1$$
$$\sin(2\cos x)=\pm 1$$
Отсюда:
$$2\cos x=\frac{\pi}{2}+2\pi k \quad \text{или} \quad 2\cos x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in \mathbb Z$$
Но для существования решений нужно, чтобы значения правых частей принадлежали отрезку $$[-2,2]$$. Это возможно только при $$k=0$$:
$$\cos x=\frac{\pi}{4}\quad \text{или} \quad \cos x=-\frac{\pi}{4}$$
Следовательно,
$$x=\pm \arccos\frac{\pi}{4}+2\pi k \quad \text{или} \quad x=\pm \arccos\!\left(-\frac{\pi}{4}\right)+2\pi k,\quad k\in \mathbb Z$$
Ответ
а) $$(\pi k,6),\ k\in \mathbb Z$$
б) $$(3,3)$$
в) $$\left(\frac{\pi}{4}+\pi n,\ \pm\frac{\pi}{3}+2\pi k\right),\ n,k\in \mathbb Z$$
г) решений нет
д) $$\left(\pm \arccos\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ 2\right),\ \left(\pm \arccos\!\left(-\frac{\pi}{4}\right)+2\pi k,\ 2\right),\ k\in \mathbb Z$$
