Упр.14.8 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) система
sin^2 x + корень (y-2) =2
cos^2 x + корень (y-2) =3;
б) система
log3(x-2) + корень (y+1)=2
log3(x-2) — корень (y+1)=-2;
в) система
sinxcosx+cosy=1
sinxcosx-cosy =0;
г) система
sinxcosx — корень y=1
sinycosx + корень y=0;
д) система
sin^2(2cosx) + y2=5
cos^2*2cosx) +2y=4.

Подробный ответ

а) Сложим уравнения системы:
$$ (\sin^2 x+\sqrt{y-2}-2)-(\cos^2 x+\sqrt{y-2}-3)=\sin^2 x-\cos^2 x+1 $$
Получаем:
$$ \sin^2 x-\cos^2 x+1=0 $$
$$ -\cos 2x+1=0,\qquad \cos 2x=1 $$
$$ x=\pi k,\quad k\in \mathbb Z $$
Подставим в первое уравнение:
$$ \sqrt{y-2}=2 $$
$$ y-2=4,\qquad y=6 $$
б) Сложим уравнения системы:
$$ (\log_3(x-2)+\sqrt{y+1}-2)+(\log_3(x-2)-\sqrt{y+1}=-2) $$
$$ 2\log_3(x-2)=0 $$
$$ \log_3(x-2)=0,\qquad x-2=1,\qquad x=3 $$
Подставим в первое уравнение:
$$ \sqrt{y+1}=2 $$
$$ y+1=4,\qquad y=3 $$
в) Сложим уравнения системы:
$$ (\sin x\cos x+\cos y-1)+(\sin x\cos x-\cos y)=2\sin x\cos x-1 $$
$$ \sin 2x=1 $$
$$ x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z $$
Подставим во второе уравнение:
$$ \cos y=\sin x\cos x $$
$$ 2\cos y=\sin 2x=1 $$
$$ \cos y=\frac12 $$
$$ y=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in \mathbb Z $$
г) Сложим уравнения системы:
$$ (\sin x\cos x-\sqrt y-1)+(\sin x\cos x+\sqrt y)=2\sin x\cos x-1 $$
$$ \sin 2x=1 $$
$$ x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z $$
Подставим во второе уравнение:
$$ \sqrt y=-\sin x\cos x $$
$$ 2\sqrt y=-\sin 2x=-1 $$
Это невозможно, так как левая часть неотрицательна, а правая отрицательна. Следовательно, решений нет.
д) Сложим уравнения системы:
$$ (\sin^2(2\cos x)+y^2-5)-(\cos^2(2\cos x)+2y-4)=1+y^2+2y-9 $$
$$ y^2+2y-8=0 $$
$$ (y+4)(y-2)=0 $$
$$ y=-4 \text{ или } y=2 $$
Так как в системе есть выражение $\sqrt y$, то $y\ge 0$, значит $y=2$.
Подставим в первое уравнение:
$$ \sin^2(2\cos x)=1 $$
$$ \sin(2\cos x)=\pm 1 $$
Отсюда:
$$ 2\cos x=\frac{\pi}{2}+2\pi k \quad \text{или} \quad 2\cos x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in \mathbb Z $$
Но для существования решений нужно, чтобы значения правых частей принадлежали отрезку $$[-2,2]$$. Это возможно только при $$k=0$$:
$$ \cos x=\frac{\pi}{4}\quad \text{или} \quad \cos x=-\frac{\pi}{4} $$
Следовательно,
$$ x=\pm \arccos\frac{\pi}{4}+2\pi k \quad \text{или} \quad x=\pm \arccos\!\left(-\frac{\pi}{4}\right)+2\pi k,\quad k\in \mathbb Z $$