Упр.14.7 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
а) система
x=y+2
2x+3y=1;
б) система
3x-y=1
2x+3y=2;
в) система
x+2y=1
2x=24*3y;
г) система
x-y=пи/2
sinxsiny=1/4.
а) Из первого уравнения выразим $$x$$:
$$x=y+2$$
Подставим во второе уравнение:
$$2(y+2)+3y=1$$
$$2y+4+3y=1$$
$$5y=-3$$
$$y=-\frac{3}{5}$$
Тогда
$$x=y+2=-\frac{3}{5}+2=\frac{7}{5}$$
б) Из первого уравнения выразим $$y$$:
$$y=3x-1$$
Подставим во второе уравнение:
$$2x+3(3x-1)=2$$
$$2x+9x-3=2$$
$$11x=5$$
$$x=\frac{5}{11}$$
Тогда
$$y=3\cdot \frac{5}{11}-1=\frac{15}{11}-\frac{11}{11}=\frac{4}{11}$$
в) Из первого уравнения выразим $$x$$:
$$x=1-2y$$
Во втором уравнении:
$$2^x=24\cdot 3^y$$
Подставим $$x=1-2y$$:
$$2^{1-2y}=24\cdot 3^y$$
$$2\cdot 2^{-2y}=24\cdot 3^y$$
$$2\cdot 4^{-y}=24\cdot 3^y$$
$$4^{-y}=12\cdot 3^y$$
Умножим на $$3^{-y}$$:
$$4^{-y}\cdot 3^{-y}=12$$
$$12^{-y}=12$$
Следовательно,
$$-y=1,\quad y=-1$$
Тогда
$$x=1-2(-1)=3$$
г) Из первого уравнения выразим $$x$$:
$$x=\frac{\pi}{2}+y$$
Подставим во второе уравнение:
$$\sin\left(\frac{\pi}{2}+y\right)\sin y=\frac14$$
Так как $$\sin\left(\frac{\pi}{2}+y\right)=\cos y$$, получаем:
$$\cos y\sin y=\frac14$$
$$\sin 2y=\frac12$$
Тогда
$$2y=\frac{\pi}{6}+2\pi k \quad \text{или} \quad 2y=\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in \mathbb{Z}$$
Отсюда
$$y=\frac{\pi}{12}+\pi k \quad \text{или} \quad y=\frac{5\pi}{12}+\pi k,\quad k\in \mathbb{Z}$$
Тогда
$$x=\frac{\pi}{2}+y$$
и получаем:
$$x=\frac{7\pi}{12}+\pi k \quad \text{или} \quad x=\frac{11\pi}{12}+\pi k,\quad k\in \mathbb{Z}$$
Ответ
а) $$\left(\frac{7}{5};-\frac{3}{5}\right)$$;
б) $$\left(\frac{5}{11};\frac{4}{11}\right)$$;
в) $$\left(3;-1\right)$$;
г) $$\left(\frac{7\pi}{12}+\pi k;\frac{\pi}{12}+\pi k\right),\ \left(\frac{11\pi}{12}+\pi k;\frac{5\pi}{12}+\pi k\right),\ k\in\mathbb{Z}$$
