Упр.14.6 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
Равносильны ли системы:
а) $$\begin{cases}\sin x=\cos y,\\ \operatorname{tg}x=\operatorname{tg}y\end{cases}$$ и $$\begin{cases}\operatorname{tg}x=\operatorname{tg}y,\\ \sin x=\cos y\end{cases}$$;
б) $$\begin{cases}2x+3y=1,\\ x-4y=5\end{cases}$$ и $$\begin{cases}2x+3y=1,\\ x=4y+5\end{cases}$$;
в) $$\begin{cases}2^{x-3}+\frac18\\ \sqrt{x}-\sin y=1\end{cases}$$ и $$\begin{cases}2^x+8y=1,\\ \sqrt{x}=\sin y+1\end{cases}$$;
г) $$\begin{cases}\sin^2x=y,\\ \cos^2x=y^2+1\end{cases}$$ и $$\begin{cases}\sin^2x=y,\\ y^2+y=0\end{cases}$$?
а) Системы равносильны, так как в них просто переставлены уравнения местами:
$$\begin{cases} \sin x=\cos y,\\ \tg x=\tg y \end{cases} \iff \begin{cases} \tg x=\tg y,\\ \sin x=\cos y \end{cases}$$
б) Во втором уравнении перенесём $$-4y$$ в правую часть:
$$\begin{cases} 2x+3y=1,\\ x-4y=5 \end{cases} \iff \begin{cases} 2x+3y=1,\\ x=4y+5 \end{cases}$$
в) Первое уравнение умножим на $$8\neq 0$$, а во втором перенесём $$-\sin y$$ в правую часть:
$$\begin{cases} 2^{x-3}+\dfrac18=1,\\ \sqrt{x}-\sin y=1 \end{cases} \iff \begin{cases} 2^x+8y=1,\\ \sqrt{x}=\sin y+1 \end{cases}$$
г) Второе уравнение можно получить как сумму первого и уравнения $$y^2+y=0$$:
$$\begin{cases} \sin^2 x=y,\\ \cos^2 x=y^2+1 \end{cases} \iff \begin{cases} \sin^2 x=y,\\ y^2+y=0 \end{cases}$$
Ответ
а) равносильны; б) равносильны; в) равносильны; г) равносильны.
