Упр.14.45 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 14.45

Пусть тройка чисел $$\left(x_0;y_0;z_0\right)$$ является решением системы. Тогда выполняются равенства

$$\frac{3+2\cos(x_0-y_0)}{2}=\sqrt{3+2x_0-x_0^2\cos^2\frac{x_0-y_0}{2}+\sin^2\frac{x_0-y_0}{2}},$$

$$z_0^2+2x_0^2-2z_0-1=4(x_0-1).$$

Второе уравнение преобразуем:

$$z_0^2-2z_0+1+2x_0^2-2=4(x_0-1),$$

$$\left(z_0-1\right)^2+2\left(x_0-1\right)^2=0.$$

Так как сумма квадратов равна нулю, то

$$z_0=1,\qquad x_0=1.$$

Подставим это в первое уравнение:

$$\frac{3+2\cos(1-y_0)}{2}=\sqrt{3+2\cdot1-1^2\cos^2\frac{1-y_0}{2}+\sin^2\frac{1-y_0}{2}}.$$

Упростим правую часть:

$$\sqrt{5-\cos^2\frac{1-y_0}{2}+\sin^2\frac{1-y_0}{2}}=\sqrt{5-\cos(1-y_0)}.$$

Используем формулы половинного угла:

$$\cos(1-y_0)=2\cos^2\frac{1-y_0}{2}-1,$$

тогда равенство можно переписать в виде

$$\frac{3+2\cos(1-y_0)}{2}=1+\cos(1-y_0).$$

Отсюда

$$3+2\cos(1-y_0)=2+2\cos(1-y_0),$$

$$\cos(1-y_0)=0.$$

Следовательно,

$$1-y_0=\frac{\pi}{2}+\pi k,\qquad k\in\mathbb Z,$$

то есть

$$y_0=1-\frac{\pi}{2}+\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.$$

Итак, решения системы имеют вид

$$\left(1;\,1-\frac{\pi}{2}+\pi k;\,1\right),\qquad k\in\mathbb Z.$$

Ответ

$$\left(1;\,1-\frac{\pi}{2}+\pi k;\,1\right),\quad k\in\mathbb Z.$$