Упр.14.44 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

tg2x+ctg2x=2sin2y
sin2y+cos2z=1;
б)

а) Пусть $$\left(x_0,y_0,z_0\right)$$ — решение системы. Тогда

$$ \tg^2 x_0+\ctg^2 x_0=2\sin^2 y_0, \qquad \sin^2 y_0+\cos^2 z_0=1. $$

Так как для любого $$a>0$$ верно $$a+\dfrac1a\ge 2$$, то

$$ \tg^2 x_0+\ctg^2 x_0\ge 2. $$

С другой стороны, $$0\le \sin^2 y_0\le 1$$, значит

$$ 2\sin^2 y_0\le 2. $$

Следовательно, из равенства $$\tg^2 x_0+\ctg^2 x_0=2\sin^2 y_0$$ получаем

$$ \tg^2 x_0+\ctg^2 x_0=2,\qquad \sin^2 y_0=1. $$

Тогда

$$ \tg^2 x_0=1,\qquad y_0=\frac{\pi}{2}+\pi l,\ l\in\mathbb Z. $$

Из равенства $$\sin^2 y_0+\cos^2 z_0=1$$ при $$\sin^2 y_0=1$$ получаем

$$ \cos^2 z_0=0,\qquad z_0=\frac{\pi}{2}+\pi m,\ m\in\mathbb Z. $$

Из $$\tg^2 x_0=1$$ следует

$$ \tg x_0=\pm 1,\qquad x_0=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z. $$

Итак, решения системы:

$$ x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad y=\frac{\pi}{2}+\pi l,\quad z=\frac{\pi}{2}+\pi m,\qquad n,l,m\in\mathbb Z. $$

б) Обозначим

$$ a=\sqrt{\frac{1}{\lg x}},\qquad b=\sqrt[4]{y}. $$

Тогда система принимает вид

$$ a+b\ge 2b,\qquad ab=1. $$

Из первого неравенства имеем $$a\ge b$$, а из равенства $$ab=1$$ следует $$a=\dfrac1b$$. Тогда

$$ \frac1b\ge b \quad \Rightarrow \quad b^2\le 1. $$

Но $$b=\sqrt[4]{y}\ge 0$$, значит $$0< b\le 1$$. При этом из $$ab=1$$ и $$a\ge b$$ получаем равенство $$a=b=1$$.

Следовательно,

$$ \sqrt{\frac{1}{\lg x}}=1,\qquad \sqrt[4]{y}=1. $$

Отсюда

$$ \frac{1}{\lg x}=1,\qquad y=1. $$

Тогда $$\lg x=1$$, значит $$x=10$$. Кроме того, из второго уравнения системы получаем $$z=0$$.

Итак, решение системы:

$$ (10;\,1;\,0). $$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ y=\frac{\pi}{2}+\pi l,\ z=\frac{\pi}{2}+\pi m,\ n,l,m\in\mathbb Z$$;
б) $$\left(10;\,1;\,0\right)$$.