Упр.14.43 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Пусть $$\left(x_0;y_0\right)$$ — решение системы. Тогда

$$y_0^{\,1-\frac25\log_{x_0} y_0}=x_0^{\frac25}, \qquad 1+\log_{x_0}\left(1-\frac{3y_0}{x_0}\right)=\log_{x_0}4.$$

Из существования логарифмов получаем:

$$x_0>0,\quad x_0\ne 1,\quad y_0>0,\quad 1-\frac{3y_0}{x_0}>0.$$

Второе уравнение преобразуем:

$$1+\log_{x_0}\left(1-\frac{3y_0}{x_0}\right) =\log_{x_0}x_0+\log_{x_0}\left(1-\frac{3y_0}{x_0}\right) =\log_{x_0}(x_0-3y_0).$$

Тогда

$$\log_{x_0}(x_0-3y_0)=\log_{x_0}4,$$

откуда, с учётом области допустимых значений,

$$x_0-3y_0=4.$$

Теперь преобразуем первое уравнение:

$$y_0^{\,1-\frac25\log_{x_0} y_0}=x_0^{\frac25}.$$

Возьмём логарифм по основанию $$x_0$$:

$$\left(1-\frac25\log_{x_0} y_0\right)\log_{x_0} y_0=\frac25.$$

Обозначим $$t=\log_{x_0} y_0$$. Тогда

$$\left(1-\frac25 t\right)t=\frac25,$$
$$2t^2-5t+2=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$2t^2-5t+2=0, \qquad D=25-16=9,$$
$$t_1=2,\qquad t_2=\frac12.$$

Значит, возможны два случая:

$$\log_{x_0} y_0=2 \quad \text{или} \quad \log_{x_0} y_0=\frac12.$$

Отсюда получаем системы:

$$\begin{cases} x_0-3y_0=4,\\ y_0=x_0^2, \end{cases} \qquad \begin{cases} x_0-3y_0=4,\\ y_0=\sqrt{x_0}. \end{cases}$$

Первая система не имеет решений, так как при $$y_0=x_0^2$$ получаем

$$x_0-3x_0^2=4 \quad\Longleftrightarrow\quad 3x_0^2-x_0+4=0,$$

а у этого уравнения нет действительных корней, поскольку

$$D=1-48=-47<0.$$

Во второй системе положим $$y_0=\sqrt{x_0}$$, тогда $$x_0=y_0^2$$ и

$$y_0^2-3y_0-4=0.$$

$$D=9+16=25, \qquad y_0=\frac{3\pm 5}{2}.$$

Получаем $$y_0=4$$ или $$y_0=-1$$, но по ОДЗ $$y_0>0$$, значит $$y_0=4$$. Тогда

$$x_0=y_0^2=16.$$

Проверка показывает, что пара $$\left(16;4\right)$$ удовлетворяет исходной системе.

Ответ

$$\left(16;4\right)$$