Упр.14.43 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 14.43

Пусть $$\left(x_0;y_0\right)$$ — решение системы. Тогда

$$ y_0^{\,1-\frac25\log_{x_0} y_0}=x_0^{\frac25}, \qquad 1+\log_{x_0}\left(1-\frac{3y_0}{x_0}\right)=\log_{x_0}4. $$

Из существования логарифмов получаем:

$$ x_0>0,\quad x_0\ne 1,\quad y_0>0,\quad 1-\frac{3y_0}{x_0}>0. $$

Второе уравнение преобразуем:

$$ 1+\log_{x_0}\left(1-\frac{3y_0}{x_0}\right) =\log_{x_0}x_0+\log_{x_0}\left(1-\frac{3y_0}{x_0}\right) =\log_{x_0}(x_0-3y_0). $$

Тогда

$$ \log_{x_0}(x_0-3y_0)=\log_{x_0}4, $$

откуда, с учётом области допустимых значений,

$$ x_0-3y_0=4. $$

Теперь преобразуем первое уравнение:

$$ y_0^{\,1-\frac25\log_{x_0} y_0}=x_0^{\frac25}. $$

Возьмём логарифм по основанию $$x_0$$:

$$ \left(1-\frac25\log_{x_0} y_0\right)\log_{x_0} y_0=\frac25. $$

Обозначим $$t=\log_{x_0} y_0$$. Тогда

$$ \left(1-\frac25 t\right)t=\frac25, $$
$$ 2t^2-5t+2=0. $$

Решаем квадратное уравнение:

$$ 2t^2-5t+2=0, \qquad D=25-16=9, $$
$$ t_1=2,\qquad t_2=\frac12. $$

Значит, возможны два случая:

$$ \log_{x_0} y_0=2 \quad \text{или} \quad \log_{x_0} y_0=\frac12. $$

Отсюда получаем системы:

$$ \begin{cases} x_0-3y_0=4,\\ y_0=x_0^2, \end{cases} \qquad \begin{cases} x_0-3y_0=4,\\ y_0=\sqrt{x_0}. \end{cases} $$

Первая система не имеет решений, так как при $$y_0=x_0^2$$ получаем

$$ x_0-3x_0^2=4 \quad\Longleftrightarrow\quad 3x_0^2-x_0+4=0, $$

а у этого уравнения нет действительных корней, поскольку

$$ D=1-48=-47<0. $$

Во второй системе положим $$y_0=\sqrt{x_0}$$, тогда $$x_0=y_0^2$$ и

$$ y_0^2-3y_0-4=0. $$

$$ D=9+16=25, \qquad y_0=\frac{3\pm 5}{2}. $$

Получаем $$y_0=4$$ или $$y_0=-1$$, но по ОДЗ $$y_0>0$$, значит $$y_0=4$$. Тогда

$$ x_0=y_0^2=16. $$

Проверка показывает, что пара $$\left(16;4\right)$$ удовлетворяет исходной системе.

Ответ

$$\left(16;4\right)$$