Упр.14.41 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

x-y+ корень (x2-4y2) =2
x5* (x2-4y2)=0

Рассмотрим систему

$$ \begin{cases} x-y+\sqrt{x^2-4y^2}=2,\\ x^5\sqrt{x^2-4y^2}=0. \end{cases} $$

Из второго уравнения следует, что

$$ x^5\sqrt{x^2-4y^2}=0. $$

Значит, либо $$x=0$$, либо $$\sqrt{x^2-4y^2}=0$$.

Если $$x=0$$, то из первого уравнения получаем

$$ -y+\sqrt{-4y^2}=2. $$

Это невозможно, так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а при $$x=0$$ имеем $$x^2-4y^2=-4y^2\le 0$$. Следовательно, $$x\ne 0$$, и потому

$$ \sqrt{x^2-4y^2}=0. $$

Тогда

$$ x^2-4y^2=0. $$

Подставим это в первое уравнение системы:

$$ x-y=2. $$

Получаем равносильную систему

$$ \begin{cases} x^2-4y^2=0,\\ x-y=2. \end{cases} $$

Из второго уравнения $$x=2+y$$. Подставим в первое:

$$ (2+y)^2-4y^2=0 $$

$$ 4+4y+y^2-4y^2=0 $$

$$ 3y^2-4y-4=0. $$

Найдём корни квадратного уравнения:

$$ D=(-4)^2-4\cdot 3\cdot(-4)=16+48=64. $$

$$ y=\frac{4\pm \sqrt{64}}{2\cdot 3}=\frac{4\pm 8}{6}. $$

Тогда

$$ y_1=2,\qquad y_2=-\frac{2}{3}. $$

Найдём соответствующие значения $$x$$:

$$ x=2+y. $$

Если $$y=2$$, то $$x=4$$.

Если $$y=-\frac{2}{3}$$, то $$x=\frac{4}{3}$$.

Проверка показывает, что обе пары удовлетворяют исходной системе.

Ответ

$$(4;\,2),\ \left(\frac{4}{3};\,-\frac{2}{3}\right).$$