Упр.14.41 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Система:

$$\begin{cases} x-y+\sqrt{x^2-4y^2}=2,\\ x^5\left(x^2-4y^2\right)=0. \end{cases}$$

Рассмотрим систему

$$\begin{cases} x-y+\sqrt{x^2-4y^2}=2,\\ x^5\sqrt{x^2-4y^2}=0. \end{cases}$$

Из второго уравнения следует, что

$$x^5\sqrt{x^2-4y^2}=0.$$

Значит, либо $$x=0$$, либо $$\sqrt{x^2-4y^2}=0$$.

Если $$x=0$$, то из первого уравнения получаем

$$-y+\sqrt{-4y^2}=2.$$

Это невозможно, так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а при $$x=0$$ имеем $$x^2-4y^2=-4y^2\le 0$$. Следовательно, $$x\ne 0$$, и потому

$$\sqrt{x^2-4y^2}=0.$$

Тогда

$$x^2-4y^2=0.$$

Подставим это в первое уравнение системы:

$$x-y=2.$$

Получаем равносильную систему

$$\begin{cases} x^2-4y^2=0,\\ x-y=2. \end{cases}$$

Из второго уравнения $$x=2+y$$. Подставим в первое:

$$(2+y)^2-4y^2=0$$

$$4+4y+y^2-4y^2=0$$

$$3y^2-4y-4=0.$$

Найдём корни квадратного уравнения:

$$D=(-4)^2-4\cdot 3\cdot(-4)=16+48=64.$$

$$y=\frac{4\pm \sqrt{64}}{2\cdot 3}=\frac{4\pm 8}{6}.$$

Тогда

$$y_1=2,\qquad y_2=-\frac{2}{3}.$$

Найдём соответствующие значения $$x$$:

$$x=2+y.$$

Если $$y=2$$, то $$x=4$$.

Если $$y=-\frac{2}{3}$$, то $$x=\frac{4}{3}$$.

Проверка показывает, что обе пары удовлетворяют исходной системе.

Ответ

$$(4;\,2),\ \left(\frac{4}{3};\,-\frac{2}{3}\right).$$