Упр.14.40 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

(x2+xy+y2) корень (x2+y2)=185
(x2-xy+y2) корень (x2+y2)=65;
б) система
(x2+xy+2y2) корень (x2+y2)=145
(2×2-xy+y2) корень (x2+y2)=230;
в) система
(3×2+2xy+y2) корень (x2+y2)= 6 корень 2
(x2-2xy+3y2) корень (x2+y2)=2 корень 2;
г) система
(x + y) корень (x2+y2)=221
(x-y) корень (x2+y2)=91.

а) Обозначим

$$A=x^2+xy+y^2,\qquad B=x^2-xy+y^2,\qquad r=\sqrt{x^2+y^2}.$$

Тогда система имеет вид

$$ Ar=185,\qquad Br=65. $$

Делим первое уравнение на второе:

$$ \frac{A}{B}=\frac{185}{65}=\frac{37}{13}. $$

Получаем

$$ 13(x^2+xy+y^2)=37(x^2-xy+y^2), $$
$$ 50xy=24(x^2+y^2), $$
$$ xy=\frac{12}{25}(x^2+y^2). $$

Подставим это в первое уравнение:

$$ \left(x^2+y^2+\frac{12}{25}(x^2+y^2)\right)\sqrt{x^2+y^2}=185, $$
$$ \frac{37}{25}(x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2}=185. $$

Пусть $$\sqrt{x^2+y^2}=a$$. Тогда

$$ \frac{37}{25}a^3=185,\qquad a^3=125,\qquad a=5. $$

Значит,

$$ x^2+y^2=25,\qquad xy=12. $$

Тогда

$$ (x+y)^2=x^2+2xy+y^2=25+24=49, $$
$$ x+y=\pm 7. $$

А также

$$ (x-y)^2=x^2-2xy+y^2=25-24=1, $$
$$ x-y=\pm 1. $$

Отсюда получаем пары:

$$ (3;4),\ (-3;-4),\ (4;3),\ (-4;-3). $$

б) Сложим уравнения системы:

$$ (3x^2+3y^2)\sqrt{x^2+y^2}=375, $$
$$ (x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2}=125. $$

Пусть $$\sqrt{x^2+y^2}=a$$. Тогда

$$ a^3=125,\qquad a=5, $$
$$ x^2+y^2=25. $$

Из системы

$$ \begin{cases} x^2+xy+2y^2=29,\\ 2x^2-xy+y^2=46 \end{cases} $$

получаем после исключения:

$$ 21y^2+25xy-4x^2=0. $$

Положим $$t=\frac{y}{x}$$. Тогда

$$ 21t^2+25t-4=0. $$

$$ D=25^2-4\cdot 21\cdot(-4)=961, $$
$$ t_1=\frac{-25+31}{42}=\frac17,\qquad t_2=\frac{-25-31}{42}=-\frac43. $$

Значит, либо $$y=\frac{x}{7}$$, либо $$y=-\frac{4x}{3}$$.

С учётом $$x^2+y^2=25$$ получаем решения:

$$ (3;4),\ (-3;-4),\left(\frac{7}{\sqrt2};\frac{1}{\sqrt2}\right),\left(-\frac{7}{\sqrt2};-\frac{1}{\sqrt2}\right). $$

в) Сложим уравнения:

$$ 4(x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2}=8\sqrt2, $$
$$ (x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt2. $$

Пусть $$\sqrt{x^2+y^2}=a$$. Тогда

$$ a^3=\sqrt2,\qquad a=\sqrt2, $$
$$ x^2+y^2=2. $$

Из системы

$$ \begin{cases} 3x^2+2xy+y^2=3\sqrt2,\\ x^2-2xy+3y^2=\sqrt2 \end{cases} $$

умножим второе уравнение на $$-3$$ и сложим с первым:

$$ 8xy-8y^2=0, $$
$$ 8y(x-y)=0. $$

Следовательно, либо $$y=0$$, либо $$x=y$$.

Тогда из $$x^2+y^2=2$$ получаем:

$$ (1;1),\ (-1;-1),\ (\sqrt2;0),\ (-\sqrt2;0). $$

г) Разделим уравнения:

$$ \frac{x+y}{x-y}=\frac{221}{91}. $$

Тогда

$$ 91(x+y)=221(x-y), $$
$$ 130x=312y, $$
$$ x=\frac{12}{5}y. $$

Подставим в первое уравнение:

$$ \left(\frac{12}{5}y+y\right)\sqrt{\left(\frac{12}{5}y\right)^2+y^2}=221, $$
$$ \frac{17}{5}y\cdot \frac{13}{5}|y|=221, $$
$$ y|y|=25. $$

Так как левая часть положительна, то $$y=5$$, откуда

$$ x=\frac{12}{5}\cdot 5=12. $$

Ответ

а) $$ (3;4),\ (-3;-4),\ (4;3),\ (-4;-3) $$;
б) $$ (3;4),\ (-3;-4),\left(\frac{7}{\sqrt2};\frac{1}{\sqrt2}\right),\left(-\frac{7}{\sqrt2};-\frac{1}{\sqrt2}\right) $$;
в) $$ (1;1),\ (-1;-1),\ (\sqrt2;0),\ (-\sqrt2;0) $$;
г) $$ (12;5) $$.