Упр.14.40 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) $$\begin{cases}(x^2+xy+y^2)\sqrt{x^2+y^2}=185,\\(x^2-xy+y^2)\sqrt{x^2+y^2}=65;\end{cases}$$

б) $$\begin{cases}(x^2+xy+2y^2)\sqrt{x^2+y^2}=145,\\(2x^2-xy+y^2)\sqrt{x^2+y^2}=230;\end{cases}$$

в) $$\begin{cases}(3x^2+2xy+y^2)\sqrt{x^2+y^2}=6\sqrt{2},\\(x^2-2xy+3y^2)\sqrt{x^2+y^2}=2\sqrt{2};\end{cases}$$

г) $$\begin{cases}(x+y)\sqrt{x^2+y^2}=221,\\(x-y)\sqrt{x^2+y^2}=91.\end{cases}$$

а) Обозначим

$$A=x^2+xy+y^2,\qquad B=x^2-xy+y^2,\qquad r=\sqrt{x^2+y^2}.$$

Тогда система имеет вид

$$Ar=185,\qquad Br=65.$$

Делим первое уравнение на второе:

$$\frac{A}{B}=\frac{185}{65}=\frac{37}{13}.$$

Получаем

$$13(x^2+xy+y^2)=37(x^2-xy+y^2),$$
$$50xy=24(x^2+y^2),$$
$$xy=\frac{12}{25}(x^2+y^2).$$

Подставим это в первое уравнение:

$$\left(x^2+y^2+\frac{12}{25}(x^2+y^2)\right)\sqrt{x^2+y^2}=185,$$
$$\frac{37}{25}(x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2}=185.$$

Пусть $$\sqrt{x^2+y^2}=a$$. Тогда

$$\frac{37}{25}a^3=185,\qquad a^3=125,\qquad a=5.$$

Значит,

$$x^2+y^2=25,\qquad xy=12.$$

Тогда

$$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2=25+24=49,$$
$$x+y=\pm 7.$$

А также

$$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2=25-24=1,$$
$$x-y=\pm 1.$$

Отсюда получаем пары:

$$(3;4),\ (-3;-4),\ (4;3),\ (-4;-3).$$

б) Сложим уравнения системы:

$$(3x^2+3y^2)\sqrt{x^2+y^2}=375,$$
$$(x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2}=125.$$

Пусть $$\sqrt{x^2+y^2}=a$$. Тогда

$$a^3=125,\qquad a=5,$$
$$x^2+y^2=25.$$

Из системы

$$\begin{cases} x^2+xy+2y^2=29,\\ 2x^2-xy+y^2=46 \end{cases}$$

получаем после исключения:

$$21y^2+25xy-4x^2=0.$$

Положим $$t=\frac{y}{x}$$. Тогда

$$21t^2+25t-4=0.$$

$$D=25^2-4\cdot 21\cdot(-4)=961,$$
$$t_1=\frac{-25+31}{42}=\frac17,\qquad t_2=\frac{-25-31}{42}=-\frac43.$$

Значит, либо $$y=\frac{x}{7}$$, либо $$y=-\frac{4x}{3}$$.

С учётом $$x^2+y^2=25$$ получаем решения:

$$(3;4),\ (-3;-4),\left(\frac{7}{\sqrt2};\frac{1}{\sqrt2}\right),\left(-\frac{7}{\sqrt2};-\frac{1}{\sqrt2}\right).$$

в) Сложим уравнения:

$$4(x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2}=8\sqrt2,$$
$$(x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt2.$$

Пусть $$\sqrt{x^2+y^2}=a$$. Тогда

$$a^3=\sqrt2,\qquad a=\sqrt2,$$
$$x^2+y^2=2.$$

Из системы

$$\begin{cases} 3x^2+2xy+y^2=3\sqrt2,\\ x^2-2xy+3y^2=\sqrt2 \end{cases}$$

умножим второе уравнение на $$-3$$ и сложим с первым:

$$8xy-8y^2=0,$$
$$8y(x-y)=0.$$

Следовательно, либо $$y=0$$, либо $$x=y$$.

Тогда из $$x^2+y^2=2$$ получаем:

$$(1;1),\ (-1;-1),\ (\sqrt2;0),\ (-\sqrt2;0).$$

г) Разделим уравнения:

$$\frac{x+y}{x-y}=\frac{221}{91}.$$

Тогда

$$91(x+y)=221(x-y),$$
$$130x=312y,$$
$$x=\frac{12}{5}y.$$

Подставим в первое уравнение:

$$\left(\frac{12}{5}y+y\right)\sqrt{\left(\frac{12}{5}y\right)^2+y^2}=221,$$
$$\frac{17}{5}y\cdot \frac{13}{5}|y|=221,$$
$$y|y|=25.$$

Так как левая часть положительна, то $$y=5$$, откуда

$$x=\frac{12}{5}\cdot 5=12.$$

Ответ

а) $$(3;4),\ (-3;-4),\ (4;3),\ (-4;-3)$$;
б) $$(3;4),\ (-3;-4),\left(\frac{7}{\sqrt2};\frac{1}{\sqrt2}\right),\left(-\frac{7}{\sqrt2};-\frac{1}{\sqrt2}\right)$$;
в) $$(1;1),\ (-1;-1),\ (\sqrt2;0),\ (-\sqrt2;0)$$;
г) $$(12;5)$$.