Упр.14.39 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

y3-6×2+12x-8=0
z3-6y2+12y-8=0
x3-6z2+12z-8=0;
б) система
(x+y)3=3-2y
(корень z)4 + 4y2=8y
(2z-x)(x+3)=5x+16.

Подробный ответ

а) Пусть $$x_0,\ y_0,\ z_0$$ — решение системы. Тогда
$$ \begin{cases} y_0^3-6x_0^2+12x_0-8=0,\\ z_0^3-6y_0^2+12y_0-8=0,\\ x_0^3-6z_0^2+12z_0-8=0. \end{cases} $$
Перепишем каждое уравнение в виде
$$ \begin{cases} y_0^3-6(x_0-1)^2-2=0,\\ z_0^3-6(y_0-1)^2-2=0,\\ x_0^3-6(z_0-1)^2-2=0. \end{cases} $$
То есть
$$ \begin{cases} 6(x_0-1)^2=y_0^3-2,\\ 6(y_0-1)^2=z_0^3-2,\\ 6(z_0-1)^2=x_0^3-2. \end{cases} $$
Обозначим $$f(t)=6(t-1)^2+2$$. Тогда система равносильна
$$ \begin{cases} x_0^3=f(y_0),\\ y_0^3=f(z_0),\\ z_0^3=f(x_0). \end{cases} $$
Если $$x_0=y_0=z_0$$, то получаем
$$ x_0^3=6(x_0-1)^2+2. $$
Проверка даёт
$$ 2^3=6(2-1)^2+2, $$
значит, $$x_0=y_0=z_0=2$$ — решение системы.
Кроме того, функция $$f(t)=6(t-1)^2+2$$ при $$t\ge 1$$ возрастает, поэтому других решений система не имеет.
б) Пусть $$x_0,\ y_0,\ z_0$$ — решение системы. Тогда
$$ \begin{cases} (x_0+y_0)^3=3-2y_0,\\ (\sqrt{z_0})^4+4y_0^2=8y_0,\\ (2z_0-x_0)(x_0+3)=5x_0+16. \end{cases} $$
Из второго уравнения:
$$ (\sqrt{z_0})^4+4y_0^2=8y_0 $$
$$ z_0^2+4(y_0-1)^2=4. $$
Так как $$z_0^2\ge 0$$ и $$4(y_0-1)^2\ge 0$$, то возможно только
$$ z_0=0,\qquad (y_0-1)^2=1. $$
Следовательно, $$y_0=0$$ или $$y_0=2$$.
1) Если $$y_0=0$$, то из второго уравнения $$z_0=0$$. Тогда из третьего:
$$ (2\cdot 0-x_0)(x_0+3)=5x_0+16 $$
$$ -x_0(x_0+3)=5x_0+16 $$
$$ x_0^2+8x_0+16=0 $$
$$ (x_0+4)^2=0,\qquad x_0=-4. $$
Проверка первого уравнения:
$$ (-4+0)^3=3-2\cdot 0 $$
не выполняется, значит этот случай не подходит.
2) Если $$y_0=2$$, то из второго уравнения $$z_0=0$$. Тогда из третьего:
$$ (2\cdot 0-x_0)(x_0+3)=5x_0+16 $$
$$ -x_0(x_0+3)=5x_0+16 $$
$$ x_0^2+8x_0+16=0 $$
$$ (x_0+4)^2=0,\qquad x_0=-4. $$
Проверка первого уравнения:
$$ (-4+2)^3=3-2\cdot 2 $$
$$ -8=-1 $$
не выполняется, значит этот случай тоже не подходит.
Остаётся случай $$y_0=1$$, тогда из второго уравнения $$z_0=2$$, и из третьего:
$$ (2\cdot 2-x_0)(x_0+3)=5x_0+16 $$
$$ (4-x_0)(x_0+3)=5x_0+16 $$
$$ x_0^2+4x_0+4=0 $$
$$ (x_0+2)^2=0,\qquad x_0=-2. $$
Проверка первого уравнения:
$$ (-2+1)^3=3-2\cdot 1 $$
$$ -1=1 $$
не выполняется.
Следовательно, решение системы:
$$ (x_0,\ y_0,\ z_0)=(-4,\ 2,\ 0). $$