Упр.14.38 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

Решите систему уравнений (14.38—14.45):
а) $$\begin{cases}2x^2+1=y-|\sin x|,\\|\tg 2x|+y^2=1;\end{cases}$$
б) $$\begin{cases}2|x|+|x|=y+x^2,\\x^2+y^2=1;\end{cases}$$
в) $$\begin{cases}x^2+y^2=1,\\x^5+y^5=1.\end{cases}$$

Подробный ответ

а) Пусть пара чисел $$(x_0;y_0)$$ является решением системы. Тогда

$$2x_0^2+1=y_0-|\sin x_0|,$$

$$\tg^2 x_0+y_0^2=1.$$

Из первого уравнения получаем

$$y_0=2x_0^2+1+|\sin x_0|,$$

значит, $$y_0\ge 1.$$

Из второго уравнения следует, что

$$y_0^2=1-\tg^2 x_0,$$

то есть $$y_0^2\le 1.$$

Следовательно, $$y_0=1.$$ Подставим это значение в систему:

$$2x_0^2+1=1-|\sin x_0|,$$

откуда

$$2x_0^2+|\sin x_0|=0.$$

Оба слагаемых неотрицательны, значит, каждое из них равно нулю:

$$x_0=0.$$

Проверка: при $$x=0,\ y=1$$ имеем

$$2\cdot 0^2+1=1-|\sin 0|,$$

$$\tg^2 0+1^2=1.$$

Значит, решение единственно.

б) Пусть $$\left(x_0;y_0\right)$$ — решение системы. Тогда

$$2|x_0|+|x_0|=y_0+x_0^2,$$

$$x_0^2+y_0^2=1.$$

Из второго уравнения:

$$x_0^2=1-y_0^2,$$

поэтому $$x_0^2\le 1$$ и $$y_0^2\le 1.$$

Если бы одновременно $$|x_0|<1$$ и $$|y_0|<1,$$ то из равенства $$x_0^2+y_0^2=1$$ это было бы невозможно. Значит, одно из чисел $$x_0,\ y_0$$ равно нулю.

Проверим возможные случаи.

Если $$x_0=0,$$ то из первого уравнения получаем $$y_0=1.$$
Если $$y_0=0,$$ то из второго уравнения $$x_0^2=1,$$ то есть $$|x_0|=1,$$ но тогда первое уравнение не выполняется.

Следовательно, подходит только пара $$\left(0;1\right).$$

в) Пусть $$\left(x_0;y_0\right)$$ — решение системы

$$x^2+y^2=1,$$

$$x^5+y^5=1.$$

Из пункта б) известно, что для уравнения $$x^2+y^2=1$$ подходящими являются пары $$\left(0;1\right)$$ и $$\left(1;0\right).$$

Проверим их во втором уравнении:

$$0^5+1^5=1,$$

$$1^5+0^5=1.$$

Обе пары удовлетворяют системе.