Упр.14.37 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

$$\begin{cases}\sqrt{x+y}+\sqrt[4]{x-y}=8,\\ \sqrt[4]{x^3+x^2y-xy^2-y^3}=12.\end{cases}$$

Преобразуем второе уравнение системы:

$$x^3+x^2y-xy^2-y^3=(x-y)(x+y)^2.$$

Тогда система принимает вид

$$\begin{cases} \sqrt{x+y}+\sqrt[4]{x-y}=8,\\ \sqrt[4]{(x-y)(x+y)^2}=12. \end{cases}$$

Сделаем замену:

$$u=\sqrt{x+y}, \qquad v=\sqrt[4]{x-y}.$$

Тогда

$$\begin{cases} u+v=8,\\ \sqrt[4]{u^4v^4}=12. \end{cases}$$

Так как $$u\ge 0$$ и $$v\ge 0,$$ то

$$\sqrt[4]{u^4v^4}=uv,$$

и получаем систему

$$\begin{cases} u+v=8,\\ uv=12. \end{cases}$$

Решим её:

$$t^2-8t+12=0,$$

$$D=64-48=16,$$

$$t_{1,2}=\frac{8\pm 4}{2}.$$

Следовательно,

$$t_1=2,\qquad t_2=6.$$

Значит, возможны два случая:

$$\begin{cases} u=6,\\ v=2, \end{cases} \qquad \begin{cases} u=2,\\ v=6. \end{cases}$$

1) Если $$u=6,$$ то

$$\sqrt{x+y}=6 \Rightarrow x+y=36,$$

$$\sqrt[4]{x-y}=2 \Rightarrow x-y=16.$$

Решаем систему:

$$\begin{cases} x+y=36,\\ x-y=16. \end{cases}$$

Отсюда

$$x=26,\qquad y=10.$$

2) Если $$u=2,$$ то

$$\sqrt{x+y}=2 \Rightarrow x+y=4,$$

$$\sqrt[4]{x-y}=6 \Rightarrow x-y=1296.$$

Решаем систему:

$$\begin{cases} x+y=4,\\ x-y=1296. \end{cases}$$

Отсюда

$$x=650,\qquad y=-646.$$

Оба найденных решения подходят.

Ответ

$$(26;10),\ (650;-646).$$