Упр.14.36 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) $$\begin{cases}x\sqrt{y}+y\sqrt{x}=6,\\x^2y+y^2x=20;\end{cases}$$

б) $$\begin{cases}\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}=3,\\\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{xy}=3-\sqrt[3]{y^2}.\end{cases}$$

а) Обозначим $$x\sqrt{y}=u,\qquad y\sqrt{x}=v.$$ Тогда система примет вид

$$\begin{cases} u+v=6,\\ u^2+v^2=20. \end{cases}$$

Из первого уравнения $$u=6-v$$. Подставим во второе:

$$(6-v)^2+v^2=20$$

$$36-12v+v^2+v^2=20$$

$$v^2-6v+8=0$$

$$(v-2)(v-4)=0.$$

Значит, $$v=2$$ или $$v=4$$. Тогда соответственно $$u=4$$ или $$u=2$$.

1) Если $$u=4,\ v=2,$$ то

$$x\sqrt{y}=4,\qquad y\sqrt{x}=2.$$

Возведём в квадрат:

$$x^2y=16,\qquad xy^2=4.$$

Делим первое уравнение на второе:

$$\frac{x}{y}=4.$$

Тогда $$x=4y$$, и из $$xy^2=4$$ получаем

$$4y^3=4,\qquad y=1,\qquad x=4.$$

2) Если $$u=2,\ v=4,$$ то аналогично получаем

$$x=1,\qquad y=4.$$

Следовательно, для пункта а) решения: $$(4;1)$$ и $$(1;4).$$

б) Обозначим $$\sqrt[3]{x}=u,\qquad \sqrt[3]{y}=v.$$ Тогда

$$\begin{cases} u+v=3,\\ u^2-uv=3-v^2. \end{cases}$$

Из первого уравнения $$u=3-v$$. Подставим во второе:

$$(3-v)^2-(3-v)v=3-v^2$$

$$9-6v+v^2-3v+v^2=3-v^2$$

$$v^2-3v+2=0$$

$$(v-1)(v-2)=0.$$

Значит, $$v=1$$ или $$v=2$$. Тогда соответственно $$u=2$$ или $$u=1$$.

1) Если $$u=2,\ v=1,$$ то

$$\sqrt[3]{x}=2,\qquad \sqrt[3]{y}=1,$$

откуда

$$x=8,\qquad y=1.$$

2) Если $$u=1,\ v=2,$$ то

$$x=1,\qquad y=8.$$

Следовательно, для пункта б) решения: $$(8;1)$$ и $$(1;8).$$

Ответ

а) $$(4;1),\ (1;4)$$; б) $$(8;1),\ (1;8).$$