Упр.14.36 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

x корень y + y корень x = 6
x2y+y2x=20;
б) система
корень 3 степени + корень 3 степени y=3
корень 3 степени x2 — корень 3 степени xy=3- корень 3 степени y2.

а) Обозначим $$x\sqrt{y}=u,\qquad y\sqrt{x}=v.$$ Тогда система примет вид

$$ \begin{cases} u+v=6,\\ u^2+v^2=20. \end{cases} $$

Из первого уравнения $$u=6-v$$. Подставим во второе:

$$ (6-v)^2+v^2=20 $$

$$ 36-12v+v^2+v^2=20 $$

$$ v^2-6v+8=0 $$

$$ (v-2)(v-4)=0. $$

Значит, $$v=2$$ или $$v=4$$. Тогда соответственно $$u=4$$ или $$u=2$$.

1) Если $$u=4,\ v=2,$$ то

$$ x\sqrt{y}=4,\qquad y\sqrt{x}=2. $$

Возведём в квадрат:

$$ x^2y=16,\qquad xy^2=4. $$

Делим первое уравнение на второе:

$$ \frac{x}{y}=4. $$

Тогда $$x=4y$$, и из $$xy^2=4$$ получаем

$$ 4y^3=4,\qquad y=1,\qquad x=4. $$

2) Если $$u=2,\ v=4,$$ то аналогично получаем

$$ x=1,\qquad y=4. $$

Следовательно, для пункта а) решения: $$ (4;1) $$ и $$ (1;4). $$

б) Обозначим $$\sqrt[3]{x}=u,\qquad \sqrt[3]{y}=v.$$ Тогда

$$ \begin{cases} u+v=3,\\ u^2-uv=3-v^2. \end{cases} $$

Из первого уравнения $$u=3-v$$. Подставим во второе:

$$ (3-v)^2-(3-v)v=3-v^2 $$

$$ 9-6v+v^2-3v+v^2=3-v^2 $$

$$ v^2-3v+2=0 $$

$$ (v-1)(v-2)=0. $$

Значит, $$v=1$$ или $$v=2$$. Тогда соответственно $$u=2$$ или $$u=1$$.

1) Если $$u=2,\ v=1,$$ то

$$ \sqrt[3]{x}=2,\qquad \sqrt[3]{y}=1, $$

откуда

$$ x=8,\qquad y=1. $$

2) Если $$u=1,\ v=2,$$ то

$$ x=1,\qquad y=8. $$

Следовательно, для пункта б) решения: $$ (8;1) $$ и $$ (1;8). $$

Ответ

а) $$ (4;1),\ (1;4) $$; б) $$ (8;1),\ (1;8). $$