Упр.14.35 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

корень 4 степени (x+y) — корень 4 степени (x-y) =2
корень (x+y) — корень (x-y)=8;
б) система
корень 6 степени ((x+y)3* корень (x-y)2) =8
корень (x+y) — корень 3 степени (x-y)=6.

а) Сделаем замену:

$$u=\sqrt[4]{x+y}, \quad v=\sqrt[4]{x-y}.$$

Тогда система примет вид

$$ \begin{cases} u-v=2,\\ u^2-v^2=8. \end{cases} $$

Так как $$u^2-v^2=(u-v)(u+v),$$ получаем

$$2(u+v)=8,$$

откуда

$$u+v=4.$$

Решаем систему

$$ \begin{cases} u-v=2,\\ u+v=4. \end{cases} $$

Складываем уравнения:

$$2u=6,\quad u=3,$$

тогда $$v=1.$$

Возвращаемся к переменным $$x$$ и $$y$$:

$$ \begin{cases} \sqrt[4]{x+y}=3,\\ \sqrt[4]{x-y}=1. \end{cases} $$

Следовательно,

$$ \begin{cases} x+y=81,\\ x-y=1. \end{cases} $$

Складываем:

$$2x=82,\quad x=41,$$

тогда $$y=40.$$

б) Сделаем замену:

$$u=\sqrt{x+y}, \quad v=\sqrt[3]{x-y}.$$

Тогда система равносильна системе

$$ \begin{cases} u+v=6,\\ u^3v^2=8. \end{cases} $$

Так как $$u\ge 0,$$ то рассмотрим возможные пары положительных чисел, дающих сумму 6 и произведение степеней, равное 8. Подходят:

$$u=2,\ v=4; \quad u=4,\ v=2.$$

Также возможен случай, когда $$v<0,$$ тогда из уравнения $$u+v=6$$ получаем

$$u=6-v,$$

и после подстановки получаем

$$ (6-v)v^2=8. $$

Отсюда

$$v^3-6v^2+8=0,$$

что даёт ещё одно решение

$$u=3+\sqrt{17}, \quad v=3-\sqrt{17}.$$

Возвращаемся к $$x$$ и $$y$$:

1) $$u=2,\ v=4$$

$$ \begin{cases} x+y=4,\\ x-y=64 \end{cases} \Rightarrow x=34,\ y=-30. $$

2) $$u=4,\ v=2$$

$$ \begin{cases} x+y=16,\\ x-y=8 \end{cases} \Rightarrow x=12,\ y=4. $$

3) $$u=3+\sqrt{17},\ v=3-\sqrt{17}$$

$$ \begin{cases} x+y=(3+\sqrt{17})^2=26+6\sqrt{17},\\ x-y=(3-\sqrt{17})^3=180-44\sqrt{17} \end{cases} $$

Тогда

$$ 2x=206-38\sqrt{17}, \quad x=103-19\sqrt{17}, $$

$$ y=-77+25\sqrt{17}. $$

Ответ

а) $$\left(41;\,40\right)$$

б) $$\left(34;\,-30\right),\ \left(12;\,4\right),\ \left(103-19\sqrt{17};\,-77+25\sqrt{17}\right)$$