Упр.14.34 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 14.34*

а) Сделаем замену:

$$u=\frac{xy}{x+2y},\qquad v=\frac{xy}{x-2y}.$$

Тогда система примет вид

$$ \begin{cases} u+\frac{1}{v}=\frac{14}{15},\\ v+\frac{1}{u}=\frac{14}{3}. \end{cases} $$

Выразим $$u$$ из первого уравнения и подставим во второе:

$$ u=\frac{14}{15}-\frac{1}{v}, $$

$$ v+\frac{1}{\frac{14}{15}-\frac{1}{v}}=\frac{14}{3}. $$

После преобразований получаем:

$$ u=\frac{14v-15}{15v},\qquad 3v^2=14v-15. $$

Решим квадратное уравнение:

$$ 3v^2-14v+15=0, $$

$$ (3v-5)(v-3)=0. $$

Отсюда

$$ v=\frac{5}{3}\quad \text{или}\quad v=3. $$

Найдём соответствующие значения $$u$$:

$$ u=\frac{14v-15}{15v}. $$

При $$v=\frac{5}{3}$$ имеем $$u=\frac{1}{3}$$, а при $$v=3$$ имеем $$u=0{,}6=\frac{3}{5}$$.

Возвращаемся к исходным переменным:

$$ \frac{xy}{x+2y}=\frac{1}{3},\qquad \frac{xy}{x-2y}=\frac{5}{3} $$

или

$$ \frac{xy}{x+2y}=\frac{3}{5},\qquad \frac{xy}{x-2y}=3. $$

Из первой системы получаем $$x=\frac{5}{3},\ y=\frac{5}{9}$$, из второй — $$x=3,\ y=1$$.

б) Сделаем замену:

$$u=\frac{xy}{x+2y},\qquad v=\frac{xy}{x-2y}.$$

Тогда

$$ \begin{cases} u+\frac{1}{u}=2,\\ v+\frac{1}{v}=4. \end{cases} $$

Решаем каждое уравнение:

$$ u^2-2u+1=0 \Rightarrow u=1, $$

$$ v^2-4v+1=0 \Rightarrow v=2\pm \sqrt{3}. $$

Получаем две системы:

$$ \begin{cases} \frac{xy}{x+2y}=1,\\ \frac{xy}{x-2y}=2-\sqrt{3}, \end{cases} \qquad \begin{cases} \frac{xy}{x+2y}=1,\\ \frac{xy}{x-2y}=2+\sqrt{3}. \end{cases} $$

После преобразований:

$$ \begin{cases} x=-2\sqrt{3}\,y,\\ 12y^2+(2-2\sqrt{3})^2=-4\sqrt{3}(2-2\sqrt{3})y, \end{cases} $$

$$ \begin{cases} x=2\sqrt{3}\,y,\\ 12y^2+(2+2\sqrt{3})^2=4\sqrt{3}(2+2\sqrt{3})y. \end{cases} $$

Из первой системы:

$$ y=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}},\qquad x=2-2\sqrt{3}. $$

Из второй системы:

$$ y=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}},\qquad x=2+2\sqrt{3}. $$

Ответ

а) $$\left(\frac{5}{3};\frac{5}{9}\right),\ (3;1).$$

б) $$\left(2-2\sqrt{3};\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}\right),\ \left(2+2\sqrt{3};\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}\right).$$