Упр.14.33 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

(корень 2)*y + (корень 12) * ctgx =4
(корень 8)*y — (корень 27) * ctgx =1;
б) система
(корень 3)*x + (корень 12) * tgy =9
(корень 27)*x — 1/корень 3 * tgy =8.

а) Обозначим $$\sqrt{2}\,y=u,\qquad \sqrt{3}\,\ctg x=v.$$ Тогда система принимает вид

$$ \begin{cases} u+2v=4,\\ 2u-3v=1. \end{cases} $$

Из первого уравнения $$u=4-2v$$. Подставим во второе:

$$ 2(4-2v)-3v=1 $$

$$ 8-7v=1,\qquad v=1. $$

Тогда

$$ u=4-2\cdot 1=2. $$

Возвращаемся к исходным переменным:

$$ \sqrt{2}\,y=2 \Rightarrow y=\sqrt{2}, $$

$$ \sqrt{3}\,\ctg x=1 \Rightarrow \ctg x=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}. $$

Следовательно,

$$ x=\frac{\pi}{3}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z. $$

б) Обозначим $$\sqrt{3}\,x=u,\qquad \sqrt{3}\,\tg y=v.$$ Тогда система имеет вид

$$ \begin{cases} u+2v=9,\\ 3u-\dfrac{v}{3}=8. \end{cases} $$

Умножим второе уравнение на $$3$$:

$$ \begin{cases} u+2v=9,\\ 9u-v=24. \end{cases} $$

Из первого уравнения $$u=9-2v$$. Подставим во второе:

$$ 9(9-2v)-v=24 $$

$$ 81-19v=24,\qquad v=3. $$

Тогда

$$ u=9-2\cdot 3=3. $$

Возвращаемся к исходным переменным:

$$ \sqrt{3}\,x=3 \Rightarrow x=\sqrt{3}, $$

$$ \sqrt{3}\,\tg y=3 \Rightarrow \tg y=\sqrt{3}. $$

Значит,

$$ y=\frac{\pi}{3}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z. $$

Ответ

а) $$\left(\dfrac{\pi}{3}+\pi k;\,\sqrt{2}\right),\ k\in\mathbb Z.$$

б) $$\left(\sqrt{3};\,\dfrac{\pi}{3}+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z.$$