Упр.14.32 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. а) $$\begin{cases}4^2y+3^2x=82\\3x-4y=8\end{cases}$$
2. б) $$\begin{cases}3y+5^2x=26\\5x-3^{0,5}y=4\end{cases}$$
3. в) $$\begin{cases}3^2x-\frac{2^y}{2}=25\\3^2x-2y=23\end{cases}$$

1. а) Обозначим $$u=3^x,\quad v=4^y.$$ Тогда система принимает вид

   $$\begin{cases} u^2+v^2=82,\\ u-v=8. \end{cases}$$

   Из второго уравнения $$u=8+v.$$ Подставим в первое:

   $$(8+v)^2+v^2=82$$

   $$64+16v+v^2+v^2=82$$

   $$2v^2+16v-18=0$$

   $$v^2+8v-9=0$$

   $$(v-1)(v+9)=0$$

   Отсюда $$v=1$$ или $$v=-9.$$ Значение $$v=-9$$ не подходит, так как $$v=4^y>0.$$ Значит, $$v=1,$$ тогда $$u=9.$$

   Теперь решаем:

   $$3^x=9,\quad 4^y=1$$

   $$x=2,\quad y=0$$

2. б) Обозначим $$u=5^x,\quad v=3^{0,5y}.$$ Тогда

   $$\begin{cases} u^2+v^2=26,\\ u-v=4. \end{cases}$$

   Из второго уравнения $$u=4+v.$$ Подставим в первое:

   $$(4+v)^2+v^2=26$$

   $$16+8v+v^2+v^2=26$$

   $$2v^2+8v-10=0$$

   $$v^2+4v-5=0$$

   $$(v-1)(v+5)=0$$

   Получаем $$v=1$$ или $$v=-5.$$ Значение $$v=-5$$ не подходит, так как $$v=3^{0,5y}>0.$$ Значит, $$v=1,$$ тогда $$u=5.$$

   Теперь:

   $$5^x=5,\quad 3^{0,5y}=1$$

   $$x=1,\quad 0,5y=0,\quad y=0$$

3. в) Обозначим $$u=3^{2x},\quad v=2^{y/2}.$$ Тогда система равносильна

   $$\begin{cases} u-v=25,\\ u-v^2=23. \end{cases}$$

   Вычтем второе уравнение из первого:

   $$v^2-v-2=0$$

   $$(v-2)(v+1)=0$$

   Отсюда $$v=2$$ или $$v=-1.$$ Но $$v=2^{y/2}>0,$$ значит, $$v=2.$$ Тогда

   $$u=25+v=27$$

   Получаем:

   $$3^{2x}=27,\quad 2^{y/2}=2$$

   $$2x=3,\quad \frac{y}{2}=1$$

   $$x=\frac{3}{2},\quad y=2$$

Ответ

а) $$\left(2;0\right)$$; б) $$\left(1;0\right)$$; в) $$\left(\frac{3}{2};2\right)$$.