Упр.14.32 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

4^2y+3^2x=82
3x-4y=8;
б) система
3y+5^2x=26
5x-3^0,5y=4;
в) система
3^2x-2^y/2=25
3^2x-2y=23.

1. а) Обозначим $$u=3^x,\quad v=4^y.$$ Тогда система принимает вид

   $$ \begin{cases} u^2+v^2=82,\\ u-v=8. \end{cases} $$

   Из второго уравнения $$u=8+v.$$ Подставим в первое:

   $$ (8+v)^2+v^2=82 $$

   $$ 64+16v+v^2+v^2=82 $$

   $$ 2v^2+16v-18=0 $$

   $$ v^2+8v-9=0 $$

   $$ (v-1)(v+9)=0 $$

   Отсюда $$v=1$$ или $$v=-9.$$ Значение $$v=-9$$ не подходит, так как $$v=4^y>0.$$ Значит, $$v=1,$$ тогда $$u=9.$$

   Теперь решаем:

   $$ 3^x=9,\quad 4^y=1 $$

   $$ x=2,\quad y=0 $$

2. б) Обозначим $$u=5^x,\quad v=3^{0,5y}.$$ Тогда

   $$ \begin{cases} u^2+v^2=26,\\ u-v=4. \end{cases} $$

   Из второго уравнения $$u=4+v.$$ Подставим в первое:

   $$ (4+v)^2+v^2=26 $$

   $$ 16+8v+v^2+v^2=26 $$

   $$ 2v^2+8v-10=0 $$

   $$ v^2+4v-5=0 $$

   $$ (v-1)(v+5)=0 $$

   Получаем $$v=1$$ или $$v=-5.$$ Значение $$v=-5$$ не подходит, так как $$v=3^{0,5y}>0.$$ Значит, $$v=1,$$ тогда $$u=5.$$

   Теперь:

   $$ 5^x=5,\quad 3^{0,5y}=1 $$

   $$ x=1,\quad 0,5y=0,\quad y=0 $$

3. в) Обозначим $$u=3^{2x},\quad v=2^{y/2}.$$ Тогда система равносильна

   $$ \begin{cases} u-v=25,\\ u-v^2=23. \end{cases} $$

   Вычтем второе уравнение из первого:

   $$ v^2-v-2=0 $$

   $$ (v-2)(v+1)=0 $$

   Отсюда $$v=2$$ или $$v=-1.$$ Но $$v=2^{y/2}>0,$$ значит, $$v=2.$$ Тогда

   $$ u=25+v=27 $$

   Получаем:

   $$ 3^{2x}=27,\quad 2^{y/2}=2 $$

   $$ 2x=3,\quad \frac{y}{2}=1 $$

   $$ x=\frac{3}{2},\quad y=2 $$

Ответ

а) $$\left(2;0\right)$$; б) $$\left(1;0\right)$$; в) $$\left(\frac{3}{2};2\right)$$.