Упр.14.30 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

корень (2x-1) + корень (y+3) =3;
2xy-y+6x-3=4;
б) система
корень (5x-6) + корень (y+6) =5;
5xy-6y-30x=72.

Подробный ответ

а) Обозначим

$$u=\sqrt{2x-1}, \quad v=\sqrt{y+3}.$$

Тогда исходная система равносильна системе

$$ \begin{cases} u+v=3,\\ u^2v^2=4. \end{cases} $$

Так как $$u \ge 0$$ и $$v \ge 0,$$ то из второго уравнения получаем

$$uv=2.$$

Решим систему

$$ \begin{cases} u+v=3,\\ uv=2. \end{cases} $$

Тогда числа $$u$$ и $$v$$ — корни уравнения

$$t^2-3t+2=0,$$

откуда

$$t=1 \text{ или } t=2.$$

Значит, возможны пары

$$ (u,v)=(2,1), \quad (1,2). $$

Возвращаемся к переменным $$x$$ и $$y$$:

$$ \begin{cases} \sqrt{2x-1}=2,\\ \sqrt{y+3}=1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x-1=4,\\ y+3=1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=\dfrac52,\\ y=-2 \end{cases} $$

и

$$ \begin{cases} \sqrt{2x-1}=1,\\ \sqrt{y+3}=2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x-1=1,\\ y+3=4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=1,\\ y=1 \end{cases} $$

Полученные пары удовлетворяют исходной системе.

б) Аналогично положим

$$u=\sqrt{5x-6}, \quad v=\sqrt{y+6}.$$

Тогда система равносильна системе

$$ \begin{cases} u+v=5,\\ u^2v^2=36. \end{cases} $$

Так как $$u \ge 0$$ и $$v \ge 0,$$ то

$$uv=6.$$

Решим систему

$$ \begin{cases} u+v=5,\\ uv=6. \end{cases} $$

Тогда $$u$$ и $$v$$ — корни уравнения

$$t^2-5t+6=0,$$

откуда

$$t=2 \text{ или } t=3.$$

Следовательно, возможны пары

$$ (u,v)=(3,2), \quad (2,3). $$

Возвращаемся к переменным $$x$$ и $$y$$:

$$ \begin{cases} \sqrt{5x-6}=3,\\ \sqrt{y+6}=2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 5x-6=9,\\ y+6=4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=3,\\ y=-2 \end{cases} $$

и

$$ \begin{cases} \sqrt{5x-6}=2,\\ \sqrt{y+6}=3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 5x-6=4,\\ y+6=9 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=2,\\ y=3 \end{cases} $$