Упр.14.3 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. Среди трех пар чисел (1; 1), (1; 5) и (5; 1) найдите решения системы:
   а) $$\begin{cases}\sqrt{2-x}+\sqrt{2-y}=x+y,\\\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+x-y=0;\end{cases}$$
   б) $$\begin{cases}\sqrt{x^2+y^2-1}=5,\\xy+x+y=11.\end{cases}$$

а) Проверим пары чисел по системе:

$$\sqrt{2-x}+\sqrt{2-y}=x+y,$$
$$\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+x-y=0.$$

Для пары $$(1;1)$$:

$$\sqrt{2-1}+\sqrt{2-1}=1+1,$$
$$\sqrt{1-1}+\sqrt{1-1}+1-1=0.$$

Обе равенства верны, значит, $$(1;1)$$ — решение системы.

Для пар $$(1;5)$$ и $$(5;1)$$ хотя бы одно из выражений под корнем становится отрицательным, поэтому они не подходят.

б) Проверим пары чисел по системе:

$$\sqrt{x^2+y^2-1}=5,$$
$$xy+x+y=11.$$

Для пары $$(1;5)$$:

$$\sqrt{1^2+5^2-1}=\sqrt{25}=5,$$
$$1\cdot 5+1+5=11.$$

Обе формулы выполняются, значит, $$(1;5)$$ — решение.

Для пары $$(5;1)$$:

$$\sqrt{5^2+1^2-1}=\sqrt{25}=5,$$
$$5\cdot 1+5+1=11.$$

Обе формулы также выполняются, значит, $$(5;1)$$ — решение.

Пара $$(1;1)$$ не подходит, так как

$$\sqrt{1^2+1^2-1}=\sqrt{1}=1\ne 5.$$

Ответ

а) $$(1;1)$$; б) $$(1;5)$$ и $$(5;1)$$.