Упр.14.29 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 14.29
а) Обозначим
$$\frac{1}{3x-2y}=u,\qquad \frac{1}{7x-3y}=v.$$
Тогда получаем систему
$$ \begin{cases} 5u+4v=-1,\\ 4u-3v=-7. \end{cases} $$
Умножим первое уравнение на $$4$$, второе — на $$-5$$:
$$ \begin{cases} 20u+16v=-4,\\ -20u+15v=35. \end{cases} $$
Сложим уравнения:
$$31v=31,\qquad v=1.$$
Подставим в первое уравнение:
$$5u+4=-1,\qquad 5u=-5,\qquad u=-1.$$
Теперь решим систему
$$ \begin{cases} \dfrac{1}{3x-2y}=-1,\\[4pt] \dfrac{1}{7x-3y}=1. \end{cases} $$
Равносильно системе
$$ \begin{cases} 3x-2y=-1,\\ 7x-3y=1. \end{cases} $$
Умножим первое уравнение на $$-3$$, второе — на $$2$$:
$$ \begin{cases} -9x+6y=3,\\ 14x-6y=2. \end{cases} $$
Сложим уравнения:
$$5x=5,\qquad x=1.$$
Подставим в первое уравнение:
$$3\cdot 1-2y=-1,\qquad -2y=-4,\qquad y=2.$$
б) Обозначим
$$\frac{1}{2x-y}=u,\qquad \frac{1}{x-2y}=v.$$
Тогда система принимает вид
$$ \begin{cases} 2u+3v=\dfrac{1}{2},\\ 2u-v=\dfrac{1}{18}. \end{cases} $$
Вычтем второе уравнение из первого:
$$4v=\frac{1}{2}-\frac{1}{18}=\frac{4}{9},\qquad v=\frac{1}{9}.$$
Подставим в второе уравнение:
$$2u-\frac{1}{9}=\frac{1}{18},\qquad 2u=\frac{1}{18}+\frac{1}{9}=\frac{1}{6},\qquad u=\frac{1}{12}.$$
Теперь решим систему
$$ \begin{cases} \dfrac{1}{2x-y}=\dfrac{1}{12},\\[4pt] \dfrac{1}{x-2y}=\dfrac{1}{9}. \end{cases} $$
Равносильно системе
$$ \begin{cases} 2x-y=12,\\ x-2y=9. \end{cases} $$
Из первого уравнения:
$$y=2x-12.$$
Подставим во второе:
$$x-2(2x-12)=9,$$
$$x-4x+24=9,$$
$$-3x=-15,\qquad x=5.$$Тогда
$$y=2\cdot 5-12=-2.$$
Ответ
а) $$\left(1;2\right)$$; б) $$\left(5;-2\right)$$.
