Упр.14.28 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

xy+x-y=13
xy-x+y=7;
б) система
x2-y=23
x2y=50;
в) система
xy2=12
x+y2=7;
г) система
xy(x+y)=30
x3+y3=35.

Подробный ответ

а) Обозначим $$xy=a,\quad x-y=b.$$ Тогда
$$ \begin{cases} a+b=13,\\ a-b=7. \end{cases} $$
Складываем уравнения:
$$2a=20,\quad a=10,\quad b=3.$$
Получаем систему
$$ \begin{cases} xy=10,\\ x-y=3. \end{cases} $$
Пусть $$x=y+3$$. Тогда
$$y(y+3)=10,$$
$$y^2+3y-10=0,$$
$$ (y+5)(y-2)=0. $$
Отсюда $$y=-5$$ или $$y=2$$.
Тогда $$x=-2$$ или $$x=5$$.
б) Из второго уравнения выразим $$x^2$$:
$$x^2=\frac{50}{y}.$$
Подставим в первое:
$$\frac{50}{y}-y=23.$$
Умножим на $$y$$:
$$50-y^2=23y,$$
$$y^2+23y-50=0.$$
$$ D=23^2+4\cdot 50=729=27^2. $$
$$ y=\frac{-23\pm 27}{2}. $$
Получаем $$y=2$$ или $$y=-25$$.
При $$y=2$$:
$$x^2=\frac{50}{2}=25,\quad x=\pm 5.$$
При $$y=-25$$:
$$x^2=\frac{50}{-25}=-2,$$
действительных решений нет.
в) Обозначим $$u=y^2.$$ Тогда система примет вид
$$ \begin{cases} xu=12,\\ x+u=7. \end{cases} $$
Из второго уравнения $$u=7-x$$. Подставим в первое:
$$x(7-x)=12,$$
$$x^2-7x+12=0,$$
$$ (x-3)(x-4)=0. $$
Значит, $$x=3$$ или $$x=4$$.
Если $$x=3$$, то $$u=4$$, значит $$y^2=4$$ и $$y=\pm 2$$.
Если $$x=4$$, то $$u=3$$, значит $$y^2=3$$ и $$y=\pm \sqrt{3}$$.
г) Обозначим $$a=x+y,\quad b=xy.$$ Тогда
$$ \begin{cases} ab=30,\\ a(x^2-xy+y^2)=35. \end{cases} $$
Так как
$$x^2-xy+y^2=(x+y)^2-3xy=a^2-3b,$$
получаем систему
$$ \begin{cases} ab=30,\\ a(a^2-3b)=35. \end{cases} $$
Из первого уравнения $$b=\frac{30}{a}$$. Подставим во второе:
$$a\left(a^2-3\cdot \frac{30}{a}\right)=35,$$
$$a^3-90=35,$$
$$a^3=125,\quad a=5.$$
Тогда $$b=\frac{30}{5}=6.$$
Итак,
$$ \begin{cases} x+y=5,\\ xy=6. \end{cases} $$
Тогда $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения
$$t^2-5t+6=0,$$
$$ (t-2)(t-3)=0. $$
Следовательно, $$x=2,\ y=3$$ или $$x=3,\ y=2$$.