Упр.14.27 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

14.27 а) система
|x+1| + |y+1|=5
|x+1| = 4y+4;
б) система
|x-1| + |y-5|=1
y=5+|x+1|.

а) Обозначим $$|x+1|=u,$$ $$y+1=v.$$ Тогда система принимает вид

$$ \begin{cases} u+|v|=5,\\ u=4v. \end{cases} $$

Подставим $$u=4v$$ в первое уравнение:

$$ 4v+|v|=5. $$

Рассмотрим случаи.

1) Если $$v\ge 0,$$ то $$|v|=v,$$ и получаем

$$ 4v+v=5,\quad 5v=5,\quad v=1. $$

Тогда $$u=4v=4.$$ Проверка:

$$ |x+1|=4,\qquad y+1=1. $$

Отсюда

$$ x=3 \text{ или } x=-5,\qquad y=0. $$

2) Если $$v<0,$$ то $$|v|=-v,$$ и получаем

$$ 4v-v=5,\quad 3v=5,\quad v=\frac{5}{3}, $$

что противоречит условию $$v<0.$$ Значит, этот случай не подходит.

Итак, для пункта а) получаем точки $$ (3;0) $$ и $$ (-5;0).$$

б) Обозначим $$|x-1|=u,$$ $$y-5=v.$$ Тогда система равносильна

$$ \begin{cases} u+|v|=1,\\ v=u. \end{cases} $$

Подставим $$v=u$$ в первое уравнение:

$$ u+|u|=1. $$

Рассмотрим случаи.

1) Если $$u\ge 0,$$ то $$|u|=u,$$ и тогда

$$ u+u=1,\quad 2u=1,\quad u=\frac12. $$

Следовательно, $$v=\frac12.$$ Тогда

$$ |x-1|=\frac12,\qquad y-5=\frac12. $$

Отсюда

$$ x=\frac32 \text{ или } x=\frac12,\qquad y=\frac{11}{2}. $$

2) Если $$u<0,$$ то $$|u|=-u,$$ и получаем $$u-u=1,$$ то есть $$0=1,$$ что невозможно.

Значит, для пункта б) решения: $$\left(\frac32;\frac{11}{2}\right)$$ и $$\left(\frac12;\frac{11}{2}\right).$$

Ответ

а) $$ (3;0),\; (-5;0) $$

б) $$ \left(\frac32;\frac{11}{2}\right),\; \left(\frac12;\frac{11}{2}\right) $$