Упр.14.26 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

3^(1+log3(x-2y))=9
log3(x-2y) + log3(x+2y) = 1+2log3(5);
б) система
5^(1+log5(2x+y))=25
log5(2x-y) + log5(2x+y) = 1+2log5(3).

1. а) Из первого уравнения получаем:

   $$3^{1+\log_3(x-2y)}=9=3^2$$

   Следовательно,

   $$1+\log_3(x-2y)=2,$$

   $$\log_3(x-2y)=1,$$

   $$x-2y=3.$$

   Из второго уравнения:

   $$\log_3(x-2y)+\log_3(x+2y)=1+2\log_3 5.$$

   Так как $$1=\log_3 3,$$ а $$2\log_3 5=\log_3 25,$$ то

   $$\log_3(x-2y)+\log_3(x+2y)=\log_3 3+\log_3 25=\log_3 75.$$

   Тогда

   $$\log_3\bigl((x-2y)(x+2y)\bigr)=\log_3 75,$$

   $$x^2-4y^2=75.$$

   Получаем систему:

   $$ \begin{cases} x-2y=3,\\ x^2-4y^2=75. \end{cases} $$

   Подставим $$x=3+2y$$ во второе уравнение:

   $$ (3+2y)^2-4y^2=75 $$

   $$ 9+12y+4y^2-4y^2=75 $$

   $$ 12y=66,\quad y=5{,}5. $$

   Тогда

   $$x=3+2\cdot 5{,}5=14.$$

2. б) Из первого уравнения:

   $$5^{1+\log_5(2x+y)}=25=5^2,$$

   значит,

   $$1+\log_5(2x+y)=2,$$

   $$\log_5(2x+y)=1,$$

   $$2x+y=5.$$

   Из второго уравнения:

   $$\log_5(4x^2-y^2)=\log_5 5+\log_5 9=\log_5 45,$$

   следовательно,

   $$4x^2-y^2=45.$$

   Получаем систему:

   $$ \begin{cases} 2x+y=5,\\ 4x^2-y^2=45. \end{cases} $$

   Выразим $$y$$:

   $$y=5-2x.$$

   Подставим во второе уравнение:

   $$ 4x^2-(5-2x)^2=45 $$

   $$ 4x^2-(25-20x+4x^2)=45 $$

   $$ 20x-25=45 $$

   $$ 20x=70,\quad x=3{,}5. $$

   Тогда

   $$y=5-2\cdot 3{,}5=-2.$$

Ответ

а) $$\left(14;\,5{,}5\right)$$; б) $$\left(3{,}5;\,-2\right)$$.