Упр.14.25 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

2^(1+log2(x+y) = 24
2log0,5(y) — log0,5(x) =-1;
б) система
0,2^(1+log0,2(y-x) = 0,8
log2(y) — 2log2(x) =-1.

Подробный ответ

а)
$$2^{1+\log_2(x+y)}=24,$$
$$\log_{0,5}\frac{y^2}{x}=-1.$$
Из первого уравнения:
$$2^{1+\log_2(x+y)}=2\cdot 2^{\log_2(x+y)}=2(x+y)=24,$$
значит
$$x+y=12.$$
Из второго уравнения:
$$\log_{0,5}\frac{y^2}{x}=-1 \;\Longrightarrow\; \frac{y^2}{x}=(0,5)^{-1}=2.$$
Тогда
$$y^2=2x.$$
Получаем систему:
$$ \begin{cases} x+y=12,\\ y^2=2x. \end{cases} $$
Подставим $x=12-y$:
$$ y^2=2(12-y)=24-2y, $$
$$ y^2+2y-24=0, $$
$$ (y+6)(y-4)=0. $$
Отсюда
$$y=-6 \text{ или } y=4.$$
Если $y=-6$, то $x=12-(-6)=18$.
Если $y=4$, то $x=12-4=8$.
Проверим область допустимых значений: $x+y>0$, $x>0$, $y\neq 0$.
Пара $(18;-6)$ не подходит, так как $y<0$ и $\frac{y^2}{x}= \frac{36}{18}=2$ формально верно, но в исходном логарифме аргумент положителен; однако $x+y=12>0$ выполняется. Для логарифма основание $0,5$ допустимо, поэтому пара $(18;-6)$ действительно подходит.
Пара $(8;4)$ также подходит.
б)
$$0,2^{\,1+\log_{0,2}(y-x)}=0,8,$$
$$\log_2\frac{y}{x^2}=-1.$$
Из первого уравнения:
$$0,2^{\,1+\log_{0,2}(y-x)}=0,2\cdot 0,2^{\log_{0,2}(y-x)}=0,2(y-x)=0,8,$$
значит
$$y-x=4.$$
Из второго уравнения:
$$\log_2\frac{y}{x^2}=-1 \;\Longrightarrow\; \frac{y}{x^2}=2^{-1}=\frac12,$$
то есть
$$y=\frac{x^2}{2}.$$
Получаем систему:
$$ \begin{cases} y-x=4,\\ y=\dfrac{x^2}{2}. \end{cases} $$
Подставим $y=x+4$:
$$ \frac{x^2}{2}=x+4, $$
$$ x^2-2x-8=0, $$
$$ (x-4)(x+2)=0. $$
Тогда
$$x=4 \text{ или } x=-2.$$
Если $x=4$, то $y=4+4=8$.
Если $x=-2$, то $y=-2+4=2$.
Проверка области допустимых значений: $y-x>0$, $x\neq 0$.
Пара $(-2;2)$ не подходит, так как $x^2=4$, а $\frac{y}{x^2}=\frac{2}{4}=\frac12$ выполняется, но в первом уравнении $y-x=4$ тоже выполняется; следовательно, эта пара подходит.
Пара $(4;8)$ также подходит.