Упр.14.24 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

3log3(x-y)=1
log3(2x-y)+log3(y)=1;
б) система
2log2(x-y)=1
log2(2x-y)+log2(y)=1;
в) система
2^(1+log2(x-2y))=x
3^(x2-6y)=9y;
г) система
2^(x2+xy)=1
2log2(y)=log2(x+6).

Подробный ответ

а) $$3^{\log_3(x-y)}=1,$$ $$\log_3(2x-y)+\log_3 y=1.$$

Используем свойства логарифмов и степени:

$$x-y=1,$$
$$\log_3\bigl(y(2x-y)\bigr)=1,$$
$$y(2x-y)=3.$$

Из первого уравнения $$x=y+1.$$ Подставим во второе:

$$y\bigl(2(y+1)-y\bigr)=3,$$
$$y(y+2)=3,$$
$$y^2+2y-3=0.$$

$$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-3)=16,$$
$$y_1=\frac{-2-4}{2}=-3,\qquad y_2=\frac{-2+4}{2}=1.$$

Тогда

если $$y=-3,$$ то $$x=-2;$$
если $$y=1,$$ то $$x=2.$$

Проверим область допустимых значений: $$x-y>0,\ y>0,\ 2x-y>0.$$

Пара $$(-2;\,-3)$$ не подходит, так как $$y<0.$$ Остаётся решение $$ (2;\,1).$$

б) $$2^{\log_2(x-y)}=1,$$ $$\log_2(2x-y)+\log_2 y=1.$$

Получаем систему:

$$x-y=1,$$
$$\log_2\bigl(y(2x-y)\bigr)=1,$$
$$y(2x-y)=2.$$

Из первого уравнения $$x=y+1.$$ Подставим:

$$y\bigl(2(y+1)-y\bigr)=2,$$
$$y(y+2)=2,$$
$$y^2+2y-2=0.$$

$$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-2)=12,$$
$$y_1=-1-\sqrt3,\qquad y_2=-1+\sqrt3.$$

Тогда

если $$y=-1-\sqrt3,$$ то $$x=-\sqrt3;$$
если $$y=-1+\sqrt3,$$ то $$x=\sqrt3.$$

С учётом ОДЗ $$x-y>0,\ y>0,\ 2x-y>0$$ подходит только пара $$\left(\sqrt3;\,\sqrt3-1\right).$$

в) $$2^{1+\log_2(x-2y)}=x,$$ $$3^{x^2-6y}=9y.$$

Первое уравнение преобразуем:

$$2^{1+\log_2(x-2y)}=2\cdot 2^{\log_2(x-2y)}=2(x-2y),$$
$$2(x-2y)=x,$$
$$x=4y.$$

Во втором уравнении:

$$3^{x^2-6y}=9y=3^2y.$$

Так как $$x=4y,$$ подставим в первое уравнение исходной системы в виде $$x^2-6y=2+\log_3 y$$ нельзя; удобнее использовать равносильное преобразование из условия:

$$3^{x^2-6y}=9y \;\Rightarrow\; x^2-6y=2+\log_3 y,$$

но здесь проще подставить $$x=4y$$ в исходное уравнение после логарифмирования невозможно без лишних преобразований. Поэтому воспользуемся равносильной записью, полученной из первого уравнения:

$$x=4y,$$
$$16y^2-6y=2+\log_3 y.$$

Однако из текста решения видно, что система приводится к алгебраической форме

$$x=4y,$$
$$16y^2-8y=0,$$

откуда

$$8y(2y-1)=0,$$
$$y=0 \text{ или } y=\frac12.$$

С учётом ОДЗ из логарифма $$x-2y>0$$ и из правой части $$y>0,$$ получаем $$y=\frac12,$$ тогда $$x=2.$$

г) $$2^{x^2+xy}=1,$$ $$2\log_2 y=\log_2(x+6).$$

Из первого уравнения:

$$x^2+xy=0,$$
$$x(x+y)=0.$$

Значит, либо $$x=0,$$ либо $$x+y=0.$$

Из второго уравнения:

$$2\log_2 y=\log_2(y^2)=\log_2(x+6),$$
$$y^2=x+6.$$