Упр.14.23 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

log3(xy) = log3(x/y)
x2-3xy=y2-1;
б) система
log4(xy) = log4(x/y)
x2-3y=y2-3x;
в) система
log5(x2y) = log5(y/x2)
x2+xy=y2-19;
г) система
log6(xy3) = log6(x/y)
4×2-1=2xy+y2.

Подробный ответ

а) Из первого уравнения получаем
$$\log_3(xy)=\log_3\left(\frac{x}{y}\right)\Rightarrow xy=\frac{x}{y}.$$
С учётом ОДЗ: $$xy>0,\quad \frac{x}{y}>0,\quad y\neq 0.$$
Тогда
$$xy^2=x \Rightarrow x(y^2-1)=0.$$
Получаем два случая:
1) $$x=0.$$ Тогда из второго уравнения
$$0-0=y^2-1 \Rightarrow y^2=1 \Rightarrow y=\pm1.$$
Но при $$x=0$$ первое уравнение не имеет смысла, так как $$xy=0$$ и $$\frac{x}{y}=0$$, а логарифм от нуля не определён. Этот случай не подходит.
2) $$y^2=1.$$ Тогда $$y=\pm1$$, и из второго уравнения
$$x^2-3xy=y^2-1=0 \Rightarrow x(x-3y)=0.$$
Если $$x=0$$, то снова первое уравнение не определено. Значит, $$x=3y.$$
При $$y=1$$ получаем $$x=3$$, при $$y=-1$$ получаем $$x=-3$$.
Пары $$ (3;1) $$ и $$ (-3;-1) $$ удовлетворяют системе.
б) Из первого уравнения
$$\log_4(xy)=\log_4\left(\frac{x}{y}\right)\Rightarrow xy=\frac{x}{y}.$$
С учётом ОДЗ: $$xy>0,\quad \frac{x}{y}>0,\quad y\neq 0.$$
Тогда
$$xy^2=x \Rightarrow x(y^2-1)=0.$$
Рассмотрим случаи.
1) $$x=0.$$ Тогда из второго уравнения
$$-3y=y^2 \Rightarrow y(y+3)=0.$$
Но $$y=0$$ не подходит по ОДЗ, а при $$y=-3$$ первое уравнение не определено. Этот случай не даёт решений.
2) $$y^2=1,$$ то есть $$y=\pm1.$$
Если $$y=1,$$ то
$$x^2-3=x-3x \Rightarrow x^2+2x-3=0 \Rightarrow (x+3)(x-1)=0.$$
Отсюда $$x=1$$ или $$x=-3$$. По ОДЗ подходит только $$x=1$$.
Если $$y=-1,$$ то
$$x^2+3=-1-3x \Rightarrow x^2+3x+4=0,$$
действительных корней нет.
Значит, решение одно: $$ (1;1) $$.
в) Из первого уравнения
$$\log_5(x^2y)=\log_5\left(\frac{y}{x^2}\right)\Rightarrow x^2y=\frac{y}{x^2}.$$
С учётом ОДЗ: $$x\neq 0,\ y>0.$$
Тогда
$$x^4y=y \Rightarrow y(x^4-1)=0.$$
Так как $$y>0,$$ то
$$x^4-1=0 \Rightarrow x=\pm1.$$
Подставим во второе уравнение:
при $$x=1$$: $$1+y=y^2-19 \Rightarrow y^2-y-20=0 \Rightarrow y=5 \text{ или } y=-4.$$
С учётом $$y>0$$ получаем $$y=5$$.
при $$x=-1$$: $$1-y=y^2-19 \Rightarrow y^2+y-20=0 \Rightarrow y=4 \text{ или } y=-5.$$
С учётом $$y>0$$ получаем $$y=4$$.
Итак, решения: $$ (1;5) $$ и $$ (-1;4) $$.
г) Из первого уравнения
$$\log_6(xy^3)=\log_6\left(\frac{x}{y}\right)\Rightarrow xy^3=\frac{x}{y}.$$
С учётом ОДЗ: $$xy^3>0,\ \frac{x}{y}>0,\ y\neq 0.$$
Тогда
$$xy^4=x \Rightarrow x(y^4-1)=0.$$
Так как $$x\neq 0$$ по ОДЗ, то
$$y^4-1=0 \Rightarrow y=\pm1.$$
Если $$y=1,$$ то
$$4x^2-1=2x+1 \Rightarrow 4x^2-2x-2=0 \Rightarrow 2x^2-x-1=0.$$
Отсюда $$x=1$$ или $$x=-\frac12.$$ По ОДЗ подходит только $$x=1$$.
Если $$y=-1,$$ то
$$4x^2-1=-2x+1 \Rightarrow 4x^2+2x-2=0 \Rightarrow 2x^2+x-1=0.$$
Отсюда $$x=-1$$ или $$x=\frac12.$$ По ОДЗ подходит только $$x=-1$$.
Итак, решения: $$ (1;1) $$ и $$ (-1;-1) $$.