Упр.14.22 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

корень (y+7x)+ корень (y+2x)=5
корень (y+2x)-y+x =1;
б) система
корень (7x+ y)+ корень (y+x)=6
корень (y+x)-y+x =2;
в) система
корень (2y-x) + x+y =3
корень (5y-x) +x =3;
г) система
корень (3y-x)+ x+y=2
корень (8y-x) +x =2.

Подробный ответ

а)
Вычтем второе уравнение из первого:
$$\sqrt{y+7x}+\sqrt{y+2x}-\bigl(\sqrt{y+2x}-y+x\bigr)=5-1,$$
откуда
$$\sqrt{y+7x}+y-x=4.$$
Тогда система равносильна
$$ \begin{cases} \sqrt{y+7x}=4+x-y,\\ \sqrt{y+2x}=1+y-x. \end{cases} $$
Возведём оба уравнения в квадрат:
$$ \begin{cases} y+7x=(4+x-y)^2,\\ y+2x=(1+y-x)^2. \end{cases} $$
После раскрытия скобок и вычитания второго уравнения из первого получаем
$$5x=15-10y,$$
то есть
$$x=2y-3.$$
Подставим в первое уравнение:
$$ \sqrt{y+2(2y-3)}-y+(2y-3)=1, $$
$$ \sqrt{5y-6}=4-y. $$
Возведём в квадрат:
$$ 5y-6=(4-y)^2=16-8y+y^2, $$
$$ y^2-13y+22=0. $$
Тогда
$$ D=13^2-4\cdot 22=81, $$
$$ y_1=\frac{13-9}{2}=2,\qquad y_2=\frac{13+9}{2}=11. $$
При $y=2$ имеем
$$x=2\cdot 2-3=1.$$
При $y=11$ имеем
$$x=2\cdot 11-3=19.$$
Проверка показывает, что пара $(19;11)$ не подходит, значит решение одно:
$$\left(1;2\right).$$
б)
Вычтем второе уравнение из первого:
$$ \sqrt{7x+y}+\sqrt{x+y}-\bigl(\sqrt{x+y}-y+x\bigr)=6-2, $$
откуда
$$\sqrt{7x+y}+y-x=4.$$
Получаем равносильную систему
$$ \begin{cases} \sqrt{7x+y}=4+x-y,\\ \sqrt{x+y}=2+y-x. \end{cases} $$
Возведём в квадрат и вычтем второе уравнение из первого:
$$ 6x=12+12x-12y, $$
значит
$$x=2y-2.$$
Подставим во второе уравнение:
$$ \sqrt{(2y-2)+y}=2+y-(2y-2), $$
$$ \sqrt{3y-2}=4-y. $$
После возведения в квадрат:
$$ 3y-2=(4-y)^2=16-8y+y^2, $$
$$ y^2-11y+18=0. $$
Тогда
$$ D=11^2-4\cdot 18=49, $$
$$ y_1=\frac{11-7}{2}=2,\qquad y_2=\frac{11+7}{2}=9. $$
При $y=2$ получаем
$$x=2\cdot 2-2=2.$$
При $y=9$ получаем
$$x=2\cdot 9-2=16.$$
Проверка показывает, что пара $(16;9)$ не подходит, значит
$$\left(2;2\right).$$
в)
Вычтем второе уравнение из первого:
$$ \sqrt{2y-x}-(\sqrt{5y-x})+(x+y)-x=3-3, $$
то есть
$$ \sqrt{2y-x}+\;y= \sqrt{5y-x}. $$
Удобнее преобразовать систему к виду
$$ \begin{cases} \sqrt{2y-x}=3-x-y,\\ \sqrt{5y-x}=3-x. \end{cases} $$
Возведём в квадрат и вычтем второе уравнение из первого:
$$ -3y-y^2+6y-2xy=0, $$
$$ y(y-3+2x)=0. $$
Получаем два случая.
1) $$y=0.$$ Тогда из второго уравнения
$$\sqrt{-x}=3-x,$$
что решений не даёт.
2) $$y-3+2x=0,$$ то есть $$y=3-2x.$$ Подставим во второе уравнение:
$$ \sqrt{5(3-2x)-x}=3-x, $$
$$ \sqrt{15-11x}=3-x. $$
Возведём в квадрат:
$$ 15-11x=(3-x)^2=9-6x+x^2, $$
$$ x^2+5x-6=0. $$
Тогда
$$ D=25+24=49, $$
$$ x_1=-6,\qquad x_2=1. $$
При $x=-6$:
$$y=3-2(-6)=15.$$
При $x=1$:
$$y=3-2=1.$$
Проверка показывает, что подходит только пара
$$\left(1;1\right).$$
г)
Аналогично получаем
$$ \begin{cases} \sqrt{3y-x}=2-x-y,\\ \sqrt{8y-x}=2-x. \end{cases} $$
После возведения в квадрат и вычитания второго уравнения из первого:
$$ y(y+1+2x)=0. $$
Рассмотрим случаи.
1) $$y=0.$$ Тогда из второго уравнения
$$\sqrt{-x}=2-x,$$
решений нет.
2) $$y+1+2x=0,$$ то есть $$y=-2x-1.$$ Подставим во второе уравнение:
$$ \sqrt{8(-2x-1)-x}=2-x, $$
$$ \sqrt{-17x-8}=2-x. $$
После возведения в квадрат:
$$ -17x-8=(2-x)^2=4-4x+x^2, $$
$$ x^2+13x+12=0. $$
Тогда
$$ D=13^2-4\cdot 12=121, $$
$$ x_1=-12,\qquad x_2=-1. $$
При $x=-12$:
$$y=-2(-12)-1=23.$$
При $x=-1$:
$$y=-2(-1)-1=1.$$
Проверка показывает, что подходит только пара
$$\left(-1;1\right).$$