Упр.14.21 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
а) $$\begin{cases}\sqrt{x-y+3}=2\sqrt{y-x+10},\\ y+1\end{cases}$$
б) $$\begin{cases}\sqrt{2x-3y}=1,\\ \sqrt{2y-3x+10}=y-2\end{cases}$$
в) $$\begin{cases}\sqrt{x+y+4}=x-y,\\ \sqrt{2x+y}=\sqrt{3x-3y}\end{cases}$$
г) $$\begin{cases}\sqrt{x+y+4}=y-x,\\ \sqrt{x+y}=\sqrt{2x-3y}\end{cases}$$
а) Из первого уравнения получаем
$$x-y+3=4,$$
откуда $$x=y+1.$$
Из второго уравнения:
$$y-x+10=y^2+2y+1.$$
Подставим $$x=y+1$$:
$$y-(y+1)+10=y^2+2y+1,$$
$$9=y^2+2y+1,$$
$$y^2+2y-8=0.$$
$$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-8)=36,$$
$$y_1=\frac{-2-6}{2}=-4,\qquad y_2=\frac{-2+6}{2}=2.$$
Тогда
$$x_1=y_1+1=-3,\qquad x_2=y_2+1=3.$$
Проверка показывает, что пара $$(-3;\,-4)$$ не подходит, а пара $$(3;\,2)$$ удовлетворяет системе.
б) Из первого уравнения:
$$2x-3y=1,\qquad x=\frac{1+3y}{2}.$$
Подставим во второе уравнение:
$$2y-3x+10=y^2-4y+4,$$
$$2y-3\cdot\frac{1+3y}{2}+10=y^2-4y+4.$$
Умножим на 2:
$$4y-3-9y+20=2y^2-8y+8,$$
$$2y^2-3y-9=0.$$
$$D=(-3)^2-4\cdot 2\cdot(-9)=81,$$
$$y_1=\frac{3-9}{4}=-\frac{3}{2},\qquad y_2=\frac{3+9}{4}=3.$$
Тогда
$$x_1=\frac{1+3\left(-\frac{3}{2}\right)}{2}=-\frac{7}{4},\qquad x_2=\frac{1+9}{2}=5.$$
Пара $$\left(-\frac{7}{4};-\frac{3}{2}\right)$$ не удовлетворяет исходной системе, а пара $$(5;\,3)$$ является решением.
в) Из второго уравнения:
$$2x+y=3x-3y,\qquad x=4y.$$
Подставим в первое уравнение:
$$x+y+4=x^2-2xy+y^2,$$
$$4y+y+4-(4y)^2+2\cdot 4y\cdot y-y^2=0,$$
$$5y+4-16y^2+8y^2-y^2=0,$$
$$9y^2-5y-4=0.$$
$$D=(-5)^2-4\cdot 9\cdot(-4)=169,$$
$$y_1=\frac{5-13}{18}=-\frac{4}{9},\qquad y_2=\frac{5+13}{18}=1.$$
Тогда
$$x_1=4y_1=-\frac{16}{9},\qquad x_2=4y_2=4.$$
Проверка показывает, что ни одна из пар не удовлетворяет исходной системе, значит решений нет.
г) Из второго уравнения:
$$x+y=2x-3y,\qquad x=4y.$$
Подставим в первое уравнение:
$$x+y+4=x^2-2xy+y^2,$$
$$4y+y+4-(4y)^2+2\cdot 4y\cdot y-y^2=0,$$
$$9y^2-5y-4=0.$$
Отсюда
$$y_1=-\frac{4}{9},\qquad y_2=1,$$
$$x_1=-\frac{16}{9},\qquad x_2=4.$$
Обе пары не удовлетворяют исходной системе, следовательно, решений нет.
Ответ
а) $$(3;\,2)$$; б) $$(5;\,3)$$; в) решений нет; г) решений нет.
