Упр.14.20 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

14.20 а) система
х + у = 2
2х2 — 4 корень х + х = у2 + 13 + (2 — корень х)2;
б) система
х + у = 3
3х2 — 6 корень х + х = у2 + 2 + (3 — корень х)2;
в) система
х + у = 4
lg (3х + у) + 2х2 + 7 = (у- 2)2 + lg (3х + у);
г) х + у = 5
корень (х + 3у) + х2 — 40 = (2у + 1)2 + корень (x + 3у).

Подробный ответ

а)
Из первого уравнения имеем $$x=2-y.$$ Подставим во второе:
$$ 2(2-y)^2-4\sqrt{2-y}+2-y=y^2+13+(2-\sqrt{2-y})^2. $$
После упрощения получаем квадратное уравнение относительно $$y$$:
$$ y^2-8y-9=0. $$
$$ D=64+36=100,\quad y_1=\frac{8-10}{2}=-1,\quad y_2=\frac{8+10}{2}=9. $$
Тогда
$$ x_1=2-(-1)=3,\quad x_2=2-9=-7. $$
Пара $$(-7;9)$$ не подходит при проверке, значит решение одно:
б)
Из первого уравнения $$x=3-y$$. Подставим во второе:
$$ 3(3-y)^2-6\sqrt{3-y}+3-y=y^2+2+(3-\sqrt{3-y})^2. $$
После упрощения получаем:
$$ 2y^2-18y+16=0. $$
$$ D=324-128=196,\quad y_1=\frac{18-14}{4}=1,\quad y_2=\frac{18+14}{4}=8. $$
$$ x_1=3-1=2,\quad x_2=3-8=-5. $$
Пара $$(-5;8)$$ не удовлетворяет исходной системе, значит:
в)
Из первого уравнения $$x=4-y$$. Так как логарифмы в обеих частях одинаковы, они сокращаются:
$$ 2x^2+7=(y-2)^2. $$
Подставим $$x=4-y$$:
$$ 2(4-y)^2+7=(y-2)^2. $$
$$ 2(16-8y+y^2)+7=y^2-4y+4 $$
$$ y^2-12y+35=0. $$
$$ D=144-140=4,\quad y_1=\frac{12-2}{2}=5,\quad y_2=\frac{12+2}{2}=7. $$
$$ x_1=4-5=-1,\quad x_2=4-7=-3. $$
Пара $$(-3;7)$$ не подходит при проверке, значит:
г)
Из первого уравнения $$x=5-y$$. Во втором уравнении корни сокращаются:
$$ x^2-40=(2y+1)^2. $$
Подставим $$x=5-y$$:
$$ (5-y)^2-40=(2y+1)^2. $$
$$ 25-10y+y^2-40=4y^2+4y+1 $$
$$ 3y^2+14y+16=0. $$
$$ D=196-192=4,\quad y_1=\frac{-14-2}{6}=-\frac{8}{3},\quad y_2=\frac{-14+2}{6}=-2. $$
$$ x_1=5-\left(-\frac{8}{3}\right)=\frac{23}{3},\quad x_2=5-(-2)=7. $$
Пара $$\left(\frac{23}{3};-\frac{8}{3}\right)$$ не удовлетворяет исходной системе, значит: