Упр.14.14 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

2×2+y2-4x+2y=1
3×2-2y2-6x-4y=5;
б) система
x2+2x-5y=-5
x2+y2+2x-10y=-9.

а) Преобразуем уравнения системы, выделяя полные квадраты:

$$ 2x^2+y^2-4x+2y=1 $$
$$ 2(x^2-2x+1)-1+(y+1)^2-1=1 $$
$$ 2(x-1)^2+(y+1)^2=4 $$

$$ 3x^2-2y^2-6x-4y=5 $$
$$ 3(x^2-2x+1)-3-2(y^2+2y+1)+2=5 $$
$$ 3(x-1)^2-2(y+1)^2=6 $$

Получаем систему:

$$ \begin{cases} 2(x-1)^2+(y+1)^2=4,\\ 3(x-1)^2-2(y+1)^2=6. \end{cases} $$

Обозначим $$u=(x-1)^2$$, $$v=(y+1)^2$$. Тогда:

$$ \begin{cases} 2u+v=4,\\ 3u-2v=6. \end{cases} $$

Умножим первое уравнение на $$2$$ и сложим со вторым:

$$ 4u+2v=8 $$
$$ 3u-2v=6 $$
$$ 7u=14,\quad u=2. $$

Тогда

$$ 2\cdot 2+v=4,\quad v=0. $$

Следовательно,

$$ (x-1)^2=2,\qquad (y+1)^2=0. $$

Отсюда

$$ x=1\pm \sqrt{2},\qquad y=-1. $$

б) Вычтем второе уравнение из первого:

$$ \begin{cases} x^2+2x-5y=-5,\\ x^2+y^2+2x-10y=-9. \end{cases} $$

$$ \left(x^2+2x-5y\right)-\left(x^2+y^2+2x-10y\right)=-5-(-9) $$
$$ -y^2+5y=4 $$
$$ y^2-5y+4=0 $$
$$ (y-1)(y-4)=0. $$

Значит, $$y=1$$ или $$y=4$$.

Если $$y=1$$, то

$$ x^2+2x-5=-5 $$
$$ x^2+2x=0 $$
$$ x(x+2)=0 $$
$$ x=0 \text{ или } x=-2. $$

Если $$y=4$$, то

$$ x^2+2x-20=-5 $$
$$ x^2+2x-15=0 $$
$$ (x+5)(x-3)=0 $$
$$ x=-5 \text{ или } x=3. $$

Получаем пары решений:

$$ (0;1),\ (-2;1),\ (-5;4),\ (3;4). $$

Ответ

а) $$\left(1-\sqrt{2};-1\right),\ \left(1+\sqrt{2};-1\right)$$
б) $$\left(0;1\right),\ \left(-2;1\right),\ \left(-5;4\right),\ \left(3;4\right)$$