Упр.14.19 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) система
x2+2y+lgx=5+lgx
x+y-1
и
система
x2+2y=5
x+y=1;
б) система
корень (x+1) = y-x
2xy-y2=55
и
система
x+1=y2=y2-2xy+x2
2xy-y2=55;
в) система
корень x/y + корень y/x=35/36
корень x + корень y=y-x
и
система
x корень x + y корень y=35/36 *xy
корень x + корень y=y-x;
г) система
log2(x+2y)=log2(2x+y)
x2-y-2=0
и
система
x+2y=2x+y
x2-y-2=0;
д)* система
log7(x+y) + log7(x-y)=1
x/y — y/x=7/12
и
система
log7((x+y)(x-y))=1
x/y-y/x=7/12?

1. а) Из первого уравнения вычтем $$\lg x$$:

   $$ \begin{cases} x^2+2y=5,\\ x+y=1. \end{cases} $$

   Это и есть вторая система, значит она является следствием первой.

2. б) Возведём первое уравнение первой системы в квадрат:

   $$ \begin{cases} x+1=y^2-2xy+x^2,\\ 2xy-y^2=55. \end{cases} $$

   Получаем вторую систему, значит она является следствием первой.

3. в) Обозначим $$a=\sqrt{x}$$, $$b=\sqrt{y}$$. Тогда первое уравнение первой системы можно записать так:

   $$ \frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{35}{36}. $$

   Умножим на $$ab$$:

   $$ a^2+b^2=\frac{35}{36}ab, $$

   то есть

   $$ x+y=\frac{35}{36}\sqrt{xy}. $$

   Это не совпадает со вторым уравнением второй системы:

   $$ x\sqrt{x}+y\sqrt{y}=\frac{35}{36}xy. $$

   Следовательно, вторая система не является следствием первой.

4. г) Из первого уравнения первой системы:

   $$ \log_2(x+2y)=\log_2(2x+y) $$

   следует

   $$ x+2y=2x+y. $$

   Значит, вторая система является следствием первой.

5. д) По свойству логарифмов:

   $$ \log_7(x+y)+\log_7(x-y)=\log_7\bigl((x+y)(x-y)\bigr). $$

   Поэтому первое уравнение первой системы равносильно первому уравнению второй системы при условиях $$x+y>0$$ и $$x-y>0$$. Значит, вторая система является следствием первой.

Ответ

а) да; б) да; в) нет; г) да; д) да.